Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral dupla \iint_{R} f(x, y) d x d y para as funções f e regiões R dadas:
f(x, y)=x^{3}+\operatorname{sen}(2 y) e R é a região descrita por x \leq y \leq 1 \mathrm{e} 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\bigl(x^{3}+\sin(2y)\bigr)\,dx\,dy
onde R é a região
0\le x\le1,\quad x\le y\le1.
O conteúdo principal aqui é integrar a função soma de duas parcelas separáveis numa região triangular, escolhendo ordem de integração adequada.

Passo 2

Para facilitar, vamos descrever R em coordenadas (y,x): primeiro y varia de 0 a 1, e para cada y o x varia de 0 a y. Assim
\iint_{R}(x^{3}+\sin(2y))\,dx\,dy =\int_{y=0}^{1}\biggl(\int_{x=0}^{y}(x^{3}+\sin(2y))\,dx\biggr)dy.

Passo 3

Dentro, separamos a integral em duas partes:
\int_{x=0}^{y}x^{3}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{x=0}^{y}\sin(2y)\,dx.

Passo 4

Calculando cada parte:
\int_{0}^{y}x^{3}\,dx=\frac{y^{4}}{4}, \qquad \int_{0}^{y}\sin(2y)\,dx =y\,\sin(2y).
Logo a integral vira
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{y^{4}}{4}+y\,\sin(2y)\Bigr)dy.

Passo 5

Separamos novamente em duas integrais:
\int_{0}^{1}\frac{y^{4}}{4}\,dy \;+\; \int_{0}^{1}y\,\sin(2y)\,dy.
A primeira é imediata:
\int_{0}^{1}\frac{y^{4}}{4}\,dy =\frac{1}{4}\cdot\frac{1^{5}}{5} =\frac{1}{20}.

Passo 6

Para \displaystyle\int_{0}^{1}y\sin(2y)\,dy usamos integração por partes. Escolhemos
u=y,\quad dv=\sin(2y)\,dy \;\Longrightarrow\; du=dy,\quad v=-\frac{\cos(2y)}{2}.
Assim
\int y\sin(2y)\,dy =-\frac{y\cos(2y)}{2} +\int\frac{\cos(2y)}{2}\,dy =-\frac{y\cos(2y)}{2} +\frac{\sin(2y)}{4}.
Avaliando de 0 a 1
\Bigl[-\tfrac{y\cos(2y)}{2}+\tfrac{\sin(2y)}{4}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{\cos(2)}{2}+\frac{\sin(2)}{4}.

Passo 7

Somando os dois resultados:
\iint_{R}(x^{3}+\sin(2y))\,dx\,dy =\frac{1}{20} \;+\; \Bigl(-\frac{\cos(2)}{2}+\frac{\sin(2)}{4}\Bigr) =\frac{1}{20}-\frac{\cos(2)}{2}+\frac{\sin(2)}{4}.

Resposta

\boxed{ \iint_{R}(x^{3}+\sin(2y))\,dx\,dy =\frac{1}{20}-\frac{\cos(2)}{2}+\frac{\sin(2)}{4}. }

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