Para cada função abaixo, determine as equações das retas tangente e normal no ponto P(xp, yp), dado. Após, num mesmo sistema de coordenadas, exiba o esboço gráfico de f e das retas.
f(x)=-x^2+2 x+3, xp=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x) = -x^2 + 2x + 3
e o ponto onde queremos as retas tangente e normal é P(xp,yp) com xp = 1.
Conteúdo envolvido: derivada (para achar o coeficiente angular da tangente), equação geral de reta e geometria (reta normal é perpendicular à tangente). Também faremos o esboço gráfico da parábola e das duas retas.

Passo 2

Calcular a ordenada yp do ponto P. Como yp = f(1), temos
yp = -1^2 + 2cdot1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Passo 3

Determinar a derivada de f. Como
f'(x) = ddx(-x^2 + 2x + 3) = -2x + 2,
o coeficiente angular da tangente em x=1 é
mt = f'(1) = -2cdot1 + 2 = 0

Passo 4

Equação da reta tangente em P. Usando a forma ponto-inclinação:
y - yp = mt,(x - xp)
fica
y - 4 = 0,(x - 1)
ou simplesmente
y = 4

Passo 5

Equação da reta normal em P. A reta normal é perpendicular à tangente. Como a tangente é horizontal ( mt=0), a normal é vertical e sua equação é
x = xp
isto é,
x = 1

Passo 6

Esboço gráfico no mesmo sistema:
– A parábola f(x)=-x^2+2x+3 abre para baixo, tem vértice em (1,4).
– A reta tangente é a linha horizontal y=4.
– A reta normal é a linha vertical x=1.
Eixo x horizontal, eixo y vertical; o ponto de tangência fica no “topo” da parábola, com a reta tangente passando por ali e a reta normal subindo/descendo verticalmente.

Resposta

Reta tangente: y = 4
Reta normal: x = 1

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