Para cada função abaixo, determine as equações das retas tangente e normal no ponto
, dado. Após, num mesmo sistema de coordenadas, exiba o esboço gráfico de
e das retas.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e o ponto onde queremos as retas tangente e normal é
com
.
Conteúdo envolvido: derivada (para achar o coeficiente angular da tangente), equação geral de reta e geometria (reta normal é perpendicular à tangente). Também faremos o esboço gráfico da parábola e das duas retas.
Conteúdo envolvido: derivada (para achar o coeficiente angular da tangente), equação geral de reta e geometria (reta normal é perpendicular à tangente). Também faremos o esboço gráfico da parábola e das duas retas.
Passo 2
Calcular a ordenada
do ponto
. Como
, temos
Passo 3
Determinar a derivada de
. Como
o coeficiente angular da tangente em
é
Passo 4
Equação da reta tangente em
. Usando a forma ponto-inclinação:
fica
ou simplesmente
Passo 5
Equação da reta normal em
. A reta normal é perpendicular à tangente. Como a tangente é horizontal (
), a normal é vertical e sua equação é
isto é,
Passo 6
Esboço gráfico no mesmo sistema:
– A parábola abre para baixo, tem vértice em
.
– A reta tangente é a linha horizontal .
– A reta normal é a linha vertical .
– A parábola
– A reta tangente é a linha horizontal
– A reta normal é a linha vertical
Eixo
horizontal, eixo
vertical; o ponto de tangência fica no “topo” da parábola, com a reta tangente passando por ali e a reta normal subindo/descendo verticalmente.
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: