Com uma substituição trigonométrica da forma x=a cos (u), calcular a integral
J=integral x^3raiz9-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
J=integral x^3raiz9-x^2,dx
usando uma substituição trigonométrica do tipo x=acos(u). Aqui temos a=3, pois raiz9-x^2 sugere x=3cos(u).

Passo 2

Fazendo
x = 3cos(u)
dx = -3sin(u),du
raiz9-x^2 = raiz9-9cos^2(u) = 3sin(u),
a integral vira
J = integral (3cos u)^33sin u,l(-3sin u,dur) = integral -27cos^3(u),du

Passo 3

Para integrar integral -27cos^3(u),du, use
cos^3(u) = cos(u)l(1-sin^2(u)r)
Com a troca t=sin(u), dt=cos(u),du, temos
integral cos^3(u),du = integral (1-t^2),dt = t - t^33 + C
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J = -27l(sin(u) - sin^3(u)3r) + C = -27sin(u) + 9sin^3(u) + C

Passo 4

Volte a x. Como sin(u)=raiz1-cos^2(u)=raiz1-tfracx^29=tfracraiz9-x^23, então
sin^3(u) = l(tfracraiz9-x^23r)^!3 = (9-x^2)^3/227
Substituindo em J obtemos
J = -27cdotraiz9-x^23 +9cdot(9-x^2)^3/227 + C = -9raiz9-x^2 + (9-x^2)^3/23 + C

Resposta

J = -9raiz9 - x^2 ;+;(9 - x^2)^3/23;+;C

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