Determine os números críticos e os extremos de f no intervalo dado:
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1
e o intervalo [0,2]. Pede-se:
  • Determinar os números críticos de f no intervalo dado.
  • Determinar os extremos de f no intervalo dado (ou seja, locais e/ou absolutos em [0,2]).
Informações relevantes fornecidas: a expressão da função (polinômio de grau 3) e o intervalo fechado [0,2].

Passo 2

Definição importante (explicada de forma simples): um número crítico de f é um ponto x do domínio onde a derivada f'(x) é zero ou não existe. Como f é um polinômio, f' existe para todo x, então procuraremos apenas os pontos onde f'(x)=0 e que pertençam ao intervalo [0,2].

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. Lembra que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo:
f'(x)=3x^{2}-12x+9.
Para achar os pontos onde f'(x)=0, resolvemos a equação quadrática
3x^{2}-12x+9=0.
Dividindo ambos os lados por 3 (para simplificar):
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando o quadrático:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes são x=1 e x=3.

Passo 4

Agora verificamos quais dessas raízes pertencem ao intervalo [0,2]. Das soluções x=1 e x=3, somente x=1 está em [0,2]. Como f' existe em todo lugar, não há números críticos adicionais. Portanto o único número crítico em [0,2] é x=1.

Passo 5

Classificação do ponto crítico x=1. Uma maneira rápida é usar a segunda derivada. Calculamos
f''(x)=6x-12.
Avaliando em x=1:
f''(1)=6\cdot 1 - 12 = -6.
Como f''(1)<0, pela regra da segunda derivada temos que f tem um máximo local em x=1 (curva côncava para baixo nesse ponto).
Explicação curta do teste: se f''(x_0)>0 então f é côncava para cima perto de x_0 e há mínimo local; se f''(x_0)<0 há máximo local; se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.

Passo 6

Como queremos os extremos no intervalo fechado [0,2], precisamos comparar os valores de f em todos os candidatos: o(s) número(s) crítico(s) internos e os extremos do intervalo (endpoints) x=0 e x=2. Calculamos f nesses pontos com contas detalhadas:
Avaliação em x=0:
f(0)=0^{3}-6\cdot0^{2}+9\cdot0+1=1.
Avaliação em x=1:
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+9\cdot1+1=1-6+9+1.
Fazendo a soma: 1-6=-5, -5+9=4, 4+1=5. Logo f(1)=5.
Avaliação em x=2:
f(2)=2^{3}-6\cdot2^{2}+9\cdot2+1=8-24+18+1.
Fazendo a soma: 8-24=-16, -16+18=2, 2+1=3. Logo f(2)=3.

Passo 7

Comparando os valores obtidos:
f(0)=1,\qquad f(1)=5,\qquad f(2)=3.
No intervalo [0,2], o maior valor é 5 em x=1 e o menor é 1 em x=0. Portanto:
  • x=1 é máximo local e também máximo absoluto (global) em [0,2].
  • x=0 é mínimo absoluto (global) em [0,2].
    Não há outro mínimo local no interior do intervalo.

Resposta

Números críticos: x=1
Extremos:
Máximo absoluto (e local) em x=1 com f(1)=5
Mínimo absoluto em x=0 com f(0)=1

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