Determine os números críticos e os extremos de
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. Pede-se:
- Determinar os números críticos de
no intervalo dado. - Determinar os extremos de
no intervalo dado (ou seja, locais e/ou absolutos em ).
Informações relevantes fornecidas: a expressão da função (polinômio de grau 3) e o intervalo fechado
.
Passo 2
Definição importante (explicada de forma simples): um número crítico de
é um ponto
do domínio onde a derivada
é zero ou não existe. Como
é um polinômio,
existe para todo
, então procuraremos apenas os pontos onde
e que pertençam ao intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Lembra que a derivada de
é
. Aplicando isso termo a termo:
Para achar os pontos onde
, resolvemos a equação quadrática
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar):
Fatorando o quadrático:
Logo as raízes são
e
.
Passo 4
Agora verificamos quais dessas raízes pertencem ao intervalo
. Das soluções
e
, somente
está em
. Como
existe em todo lugar, não há números críticos adicionais. Portanto o único número crítico em
é
.
Passo 5
Classificação do ponto crítico
. Uma maneira rápida é usar a segunda derivada. Calculamos
Avaliando em
:
Como
, pela regra da segunda derivada temos que
tem um máximo local em
(curva côncava para baixo nesse ponto).
Explicação curta do teste: se
então
é côncava para cima perto de
e há mínimo local; se
há máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Passo 6
Como queremos os extremos no intervalo fechado
, precisamos comparar os valores de
em todos os candidatos: o(s) número(s) crítico(s) internos e os extremos do intervalo (endpoints)
e
. Calculamos
nesses pontos com contas detalhadas:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Fazendo a soma:
,
,
. Logo
.
Avaliação em
:
Fazendo a soma:
,
,
. Logo
.
Passo 7
Comparando os valores obtidos:
No intervalo
, o maior valor é
em
e o menor é
em
. Portanto:
-
é máximo local e também máximo absoluto (global) em . -
é mínimo absoluto (global) em .
Não há outro mínimo local no interior do intervalo.
Resposta
Números críticos:
Extremos:
Máximo absoluto (e local) em com
Mínimo absoluto em com
Máximo absoluto (e local) em
Mínimo absoluto em