Para cada função abaixo, determine: os pontos críticos es intervalos de crescimento e decrescimento
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+2

Passo 1

Opa, beleza? A gente tem a função
f(x)=x^3-6x^2+9x+2
e o exercício quer duas coisas:
  1. Os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).
  2. Os intervalos onde a função cresce ou decresce.
    Matéria: derivadas e monotonia. O que precisamos fazer é calcular a derivada, resolver f'(x)=0 e depois testar o sinal de f'(x) nos intervalos formados por esses pontos.

Passo 2

Vamos achar a derivada passo a passo usando a regra do expoente (derivada de x^n é nx^n-1):
f'(x)=ddxl(x^3r)-6ddxl(x^2r)+9ddx(x)+ddx(2)
Isso dá
f'(x)=3x^2-6cdot2x+9cdot1+0;=;3x^2-12x+9

Passo 3

Pontos críticos: a gente resolve f'(x)=0. Então:
3x^2-12x+9=0
Divide tudo por 3 pra simplificar:
x^2-4x+3=0
Isso é um trinômio fácil de fatorar:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0,
logo
x=1ou x=3
Esses são os valores de x onde a derivada zera. Se quiser, a gente também calcula a altura da função ali:
f(1)=1-6+9+2=6, f(3)=27-54+27+2=2

Passo 4

Agora é hora de ver onde f'(x) é positiva (função cresce) ou negativa (função decresce). A gente testa um ponto em cada intervalo:
  • Para x<1, pega x=0:
f'(0)=3cdot0^2-12cdot0+9=9>0;Longrightarrow;crescente em (-infty,1)
  • Para 1<x<3, pega x=2:
f'(2)=3cdot4-12cdot2+9=12-24+9=-3<0;Longrightarrow;decrescente em (1,3)
  • Para x>3, pega x=4:
f'(4)=3cdot16-12cdot4+9=48-48+9=9>0;Longrightarrow;crescente em (3,infty)

Resposta

Pontos críticos:
  • x=1 com f(1)=6,
  • x=3 com f(3)=2.
Intervalos de crescimento:
(-infty,1);e;(3,infty)
Intervalo de decrescimento:
(1,3)

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