Determine os limites das seguintes sequiências:
lim n infty ln (n)raizn

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limntoinftyln(n)raizn
Isso entra no assunto de limites de sequências e comparação de crescimentos assintóticos (sabendo que raízes polinomiais crescem mais rápido que logaritmos). Vamos usar o truque de transformar em limite de função e depois aplicar o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos a função contínua
f(x)=ln(x)raizx,
e estudamos
limxtoinftyf(x),
pois para ntoinfty a sequência ln(n)/raizn se comporta como f(x).

Passo 3

Observamos que, quando xtoinfty, tanto ln(x)toinfty quanto raizxtoinfty, gerando uma forma indeterminada infty/infty. Então aplicamos o Teorema de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador
ddxln(x)=1x, ddxraizx=12raizx,
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limxtoinftyln(x)raizx =limxtoinftytfrac1xtfrac12raizx =limxtoinfty2raizxx =limxtoinfty2raizx

Passo 4

Como raizxtoinfty quando xtoinfty, temos
limxtoinfty2raizx=0
Logo o limite da nossa sequência também é zero.

Resposta

0

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