Em cada Função abaixo, determine os pontos para x=a para os quais o denominador se anula. Então examine y=f(x) quando x a^-e x a^+
y=2 x^2-3x^2-1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
y = f(x) = 2x^2 - 3x^2 - 1
e queremos (1) determinar os valores de x=a para os quais o denominador se anula e (2) examinar os limites de f(x) quando xto a^- e xto a^+.

Passo 2

Para achar onde o denominador se anula, resolvemos
x^2 - 1 = 0
ou seja
x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1
Logo os pontos singulares são a1 = -1 e a2 = 1.

Passo 3

Analisamos primeiro o comportamento em x=1. Note que o numerador em x=1 vale
2cdot1^2 - 3 = -1,
ou seja, próximo de x=1 o numerador está sempre perto de -1 (constante e não se anula). Já o denominador muda de sinal:
– Para xto1^-, tem-se x^2<1, logo x^2-1<0 e tende a zero negativo. Assim
f(x)approx -1(negativo pequeno) ;longrightarrow; +infty
– Para xto1^+, tem-se x^2>1, logo x^2-1>0 e tende a zero positivo. Assim
f(x)approx -1(positivo pequeno) ;longrightarrow; -infty

Passo 4

Agora o comportamento em x=-1. O numerador em x=-1 também vale
2cdot(-1)^2 - 3 = -1
(logo permanece quase constante e negativo). O denominador perto de -1 muda assim:
– Para xto-1^- (por valores menores que -1), temos x^2>1, logo x^2-1>0 tendendo a zero positivo. Então
f(x)approx -1(positivo pequeno) ;longrightarrow; -infty
– Para xto-1^+ (por valores maiores que -1), temos x^2<1, logo x^2-1<0 tendendo a zero negativo. Então
f(x)approx -1(negativo pequeno) ;longrightarrow; +infty

Resposta

Os pontos de indeterminação são x=-1 e x=1.
Para xto1^-, f(x)to+infty; para xto1^+, f(x)to-infty.
Para xto-1^-, f(x)to-infty; para xto-1^+, f(x)to+infty.

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