Calcule o comprimento de cada curva no intervalo dado:
r(t)=2 sen(t) i+(5 t) j+2 cos (t) k, t in[-10,10]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva r(t)=2sin(t),i+(5t),j+2cos(t),k para tin[-10,10]. O conteúdo é comprimento de curva em R^3, e vamos usar a fórmula
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t)=l(2cos(t),,5,,-2sin(t)r)

Passo 3

A norma de r'(t) é
l|r'(t)r| =raiz(2cos t)^2+5^2+(-2sin t)^2 =raiz4cos^2t+25+4sin^2t =raiz4(cos^2t+sin^2t)+25 =raiz29,
logo é constante.

Passo 4

Substituindo na integral,
L=integral-10^10raiz29,dt =raiz29,l[tr]-10^10 =raiz29,(10-(-10)) =20raiz29

Resposta

20raiz29

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