Em cada Função abaixo, determine os pontos para x=a para os quais o denominador se anula. Então examine y=f(x) quando x a^-e x a^+
y=x-1(x+3)(x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x-1(x+3)(x-2)
e pede para achar os valores de x=a que anulam o denominador (ou seja, as assíntotas verticais) e, em seguida, determinar o comportamento de f(x) quando xto a^- e xto a^+. O conteúdo aqui é análise de sinais e limites unilaterais para verticalizar assíntotas.

Passo 2

O denominador é (x+3)(x-2). Ele se anula se
x+3=0ou x-2=0,
isto é, em
x=-3 e x=2

Passo 3

Vamos estudar xto -3. Perto de -3:
  • Numerador x-1approx -4 (sempre negativo).
  • Fator x+3 é negativo para x<-3 e positivo para x>-3.
  • Fator x-2approx -5 (sempre negativo).
Logo, para xto -3^-:
denom = (negativo) cdot(negativo) = positivo pequeno Rightarrow f(x)approx (negativo)/(positivo) = negativo muito grande em módulo Rightarrow
limxto -3^-f(x)=-infty
Para xto -3^+:
denom = (positivo) cdot(negativo) = negativo pequeno Rightarrow f(x)approx (negativo)/(negativo) = positivo muito grande Rightarrow
limxto -3^+f(x)=+infty

Passo 4

Agora xto 2. Perto de 2:
  • Numerador x-1approx 1 (sempre positivo).
  • Fator x+3approx 5 (sempre positivo).
  • Fator x-2 é negativo para x<2 e positivo para x>2.
Assim, para xto 2^-:
denom = (positivo) cdot(negativo) = negativo pequeno Rightarrow f(x)approx (positivo)/(negativo) = negativo muito grande Rightarrow
limxto 2^-f(x)=-infty
Para xto 2^+:
denom = (positivo) cdot(positivo) = positivo pequeno Rightarrow f(x)approx (positivo)/(positivo) = positivo muito grande Rightarrow
limxto 2^+f(x)=+infty

Resposta

Os zeros do denominador são x=-3 e x=2.
Para xto -3:
limxto -3^-f(x)=-infty, limxto -3^+f(x)=+infty
Para xto 2:
limxto 2^-f(x)=-infty, limxto 2^+f(x)=+infty

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