Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=4+3 x-x^3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4+3x - x^3
e pede os pontos de máximo e mínimo locais, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar a primeira derivada para monotonicidade e a segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
f'(x)=ddxl(4+3x - x^3r)=3-3x^2
Para f'(x)=0 temos
3-3x^2=0Longrightarrow x^2=1Longrightarrow x=pm1
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=4+3(-1)-(-1)^3=4-3+1=2, f(1)=4+3(1)-1^3=4+3-1=6

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
Para x<-1, x^2>1 Rightarrow f'(x)=3-3x^2<0 (decrescente).
Para -1<x<1, x^2<1 Rightarrow f'(x)=3-3x^2>0 (crescente).
Para x>1, x^2>1 Rightarrow f'(x)=3-3x^2<0 (decrescente).
Logo
– decrescente em (-infty,-1) e em (1,infty),
– crescente em (-1,1).
Como a derivada muda de negativa para positiva em x=-1, há um mínimo local em (-1,2).
Como muda de positiva para negativa em x=1, há um máximo local em (1,6).

Passo 4

Agora a segunda derivada, para achar pontos de inflexão:
f''(x)=ddxl(3-3x^2r)=-6x
Resolvendo f''(x)=0 x=0. Como f''(x)>0 para x<0 e f''(x)<0 para x>0, x=0 é ponto de inflexão. O valor é
f(0)=4+3cdot0-0^3=4,
logo o ponto de inflexão é (0,4).

Resposta

Ponto de mínimo local: (-1,2)
Ponto de máximo local: (1,6)
Função crescente em (-1,1)
Função decrescente em (-infty,-1) e em (1,infty)
Ponto de inflexão: (0,4)

Exercícios relacionados