Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os pontos de máximo e mínimo locais, os intervalos de crescimento e decrescimento, e os pontos de inflexão. Para isso vamos usar a primeira derivada para monotonicidade e a segunda derivada para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
Para
temos
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada intervalo:
Para ,
(decrescente).
Para ,
(crescente).
Para ,
(decrescente).
Logo
– decrescente em e em
,
– crescente em .
Como a derivada muda de negativa para positiva em , há um mínimo local em
.
Como muda de positiva para negativa em , há um máximo local em
.
Para
Para
Para
Logo
– decrescente em
– crescente em
Como a derivada muda de negativa para positiva em
Como muda de positiva para negativa em
Passo 4
Agora a segunda derivada, para achar pontos de inflexão:
Resolvendo
dá
. Como
para
e
para
,
é ponto de inflexão. O valor é
logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Ponto de mínimo local:
Ponto de máximo local:
Função crescente em
Função decrescente em e em
Ponto de inflexão:
Ponto de máximo local:
Função crescente em
Função decrescente em
Ponto de inflexão: