Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=x+4x.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x+4x,
definir (a) os pontos de máximo e mínimo, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e (c) os pontos de inflexão. Para isso vamos precisar de derivada primeira (monotonicidade e pontos críticos) e derivada segunda (concavidade e inflexão). Note que o domínio é xneq0.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e a derivada segunda:
f'(x)=1-4x^2,
f''(x)=8x^3

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
1-4x^2=0 Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x=-2,,2
Agora estudamos o sinal de f'(x):
– Se lvert xrvert>2, então x^2>4 e f'(x)>0 (função crescente).
– Se 0<lvert xrvert<2, então x^2<4 e f'(x)<0 (função decrescente).
Logo:
crescente em (-infty,-2)cup(2,infty), decrescente em (-2,0)cup(0,2)

Passo 4

Classificamos -2 e 2 usando f'':
f''(-2)=8(-2)^3=-1<0Longrightarrowmáximo local em x=-2, á
f''(2)=82^3=1>0Longrightarrowmínimo local em x=2 í
Os valores são
f(-2)=-2+4-2=-4, f(2)=2+42=4

Passo 5

Para inflexão, vemos onde f''(x)=0 ou muda de sinal. Como
f''(x)=8x^3
não se anula para xneq0, mas muda de sinal ao cruzar x=0, a concavidade é:
concava para baixo em (-infty,0), côncava para cima em (0,infty) ô
Porém x=0 não pertence ao domínio, logo não há pontos de inflexão no domínio de f.

Resposta

Máximo local em l(-2,,-4r).
Mínimo local em l(2,,4r).
Função crescente em (-infty,-2)cup(2,infty).
Função decrescente em (-2,0)cup(0,2).
Não há pontos de inflexão (concavidade muda em x=0, mas 0notindom,f).

Exercícios relacionados