Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
definir (a) os pontos de máximo e mínimo, (b) os intervalos de crescimento e decrescimento e (c) os pontos de inflexão. Para isso vamos precisar de derivada primeira (monotonicidade e pontos críticos) e derivada segunda (concavidade e inflexão). Note que o domínio é
.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e a derivada segunda:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Agora estudamos o sinal de
:
– Se , então
e
(função crescente).
– Se , então
e
(função decrescente).
Logo:
– Se
– Se
Logo:
Passo 4
Classificamos
e
usando
:
Os valores são
Passo 5
Para inflexão, vemos onde
ou muda de sinal. Como
não se anula para
, mas muda de sinal ao cruzar
, a concavidade é:
Porém
não pertence ao domínio, logo não há pontos de inflexão no domínio de
.
Resposta
Máximo local em
.
Mínimo local em .
Função crescente em .
Função decrescente em .
Não há pontos de inflexão (concavidade muda em , mas
).
Mínimo local em
Função crescente em
Função decrescente em
Não há pontos de inflexão (concavidade muda em