Questão 6: Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza! A gente tem um Problema com Valor Inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial que a gente precisa resolver. No caso, a equação é:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente a forma linear, para resolver isso. Precisamos reorganizar a equação e achar uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
Vamos trazer todos os termos envolvendo
para o lado esquerdo:
Fatorando o
:
Dividindo tudo por
para isolar
:
Agora, temos nossa equação na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular:
Como
é positivo (já que a condição inicial é em
), podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
A ideia é que o lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é: