Questão 6: Resolva o PVI: x y^prime+x y & =1-y y(1) & =0

Passo 1

Beleza! A gente tem um Problema com Valor Inicial (PVI) que é basicamente uma equação diferencial que a gente precisa resolver. No caso, a equação é:
x , y^prime + x , y = 1 - y y(1) = 0
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente a forma linear, para resolver isso. Precisamos reorganizar a equação e achar uma solução que satisfaça a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação dada é:
x , y^prime + x , y = 1 - y
Vamos trazer todos os termos envolvendo y para o lado esquerdo:
x , y^prime + x , y + y = 1
Fatorando o y :
x , y^prime + y (x + 1) = 1
Dividindo tudo por x para isolar y^prime :
y^prime + (x + 1)x , y = 1x
Agora, temos nossa equação na forma padrão:
y^prime + P(x) , y = Q(x)
onde P(x) = x + 1x e Q(x) = 1x .

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Vamos calcular:
mu(x) = e^integral x + 1x , dx = e^integral 1 + 1x , dx = e^x + ln|x| = e^x cdot |x|
Como x é positivo (já que a condição inicial é em x = 1 ), podemos simplificar para:
mu(x) = x , e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela mu(x) :
x , e^x , y^prime + x , e^x cdot x + 1x , y = x , e^x cdot 1x
Simplificando:
x , e^x , y^prime + (x + 1) , e^x , y = e^x
A ideia é que o lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada do produto mu(x) cdot y :
ddx (x , e^x , y) = e^x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (x , e^x , y) , dx = integral e^x , dx
Isso resulta em:
x , e^x , y = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y :
y = e^x + Cx , e^x = 1x + Cx , e^x
Simplificando:
y = 1x + Cx , e^-x

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = 0 para encontrar C :
0 = 11 + C1 , e^-1
0 = 1 + C , e^-1
Resolvendo para C :
C = -e

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 1x - e^1 - xx

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