Questão 3: Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
a) -1 ;
b) -12
;
c) 0
d) 12 ;
e) 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para encontrar o limite da solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) y' + 2y = e^-2t quando t vai para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs de primeira ordem e entender como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial y' + 2y = e^-2t . Essa é uma EDO linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por mu(t) = e^integral P(t) dt , onde P(t) é o coeficiente de y na EDO. Aqui, P(t) = 2 , então:
mu(t) = e^integral 2 dt = e^2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t e^-2t
Simplificando, temos:
e^2t y' + 2 e^2t y = 1

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Então, podemos escrever:
ddt (e^2t y) = 1

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t :
e^2t y = integral 1 dt + C
e^2t y = t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para y :
y(t) = e^-2t (t + C)

Passo 8

Agora, queremos encontrar limt to +infty y(t) :
limt to +infty e^-2t (t + C)

Passo 9

Observamos que e^-2t decai para zero muito mais rapidamente do que t cresce para infinito. Portanto, o produto de uma função que vai para zero e outra que vai para infinito neste caso específico resulta em zero.

Resposta

A resposta correta é a letra c) 0.

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