Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=x^2(x-12)^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2(x-12)^2
e pede:
  1. Pontos de máximo e mínimo (locais).
  2. Intervalos de crescimento e decrescimento.
  3. Pontos de inflexão.
Para isso vamos precisar de cálculo de derivadas: a primeira derivada f'(x) para achar extremos e monotonicidade, e a segunda derivada f''(x) para achar pontos de inflexão e concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando produto e cadeia. Escrevendo g(x)=x(x-12)=x^2-12x, temos f(x)=g(x)^2 e
f'(x)=2,g(x),g'(x)
onde g'(x)=2x-12. Logo
f'(x)=2,(x^2-12x),(2x-12) =4,(x^2-12x),(x-6) =4,x,(x-12),(x-6)
As raízes de f'(x)=0 são
x=0, x=6, x=12,
que são os candidatos a extremos.

Passo 3

Para determinar onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de
f'(x)=4,x,(x-6),(x-12)
Em cada intervalo:
  • x<0: três fatores negativos implies f'(x)<0 (decrescente).
  • 0<x<6: um fator positivo ( x) e dois negativos implies f'(x)>0 (crescente).
  • 6<x<12: dois fatores positivos ( x e x-6) e um negativo implies f'(x)<0 (decrescente).
  • x>12: três fatores positivos implies f'(x)>0 (crescente).

Passo 4

Classificação dos extremos pelo teste de sinal de f':
  • Em x=0, f' vai de negativo para positivo implies mínimo local.
  • Em x=6, f' vai de positivo para negativo implies máximo local.
  • Em x=12, f' vai de negativo para positivo implies mínimo local.
Os valores são
f(0)=0, f(6)=6^2,(6-12)^2=36cdot 36=1296, f(12)=0

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para achar inflexões. Partindo de
f'(x)=4(x^2-12x)(x-6),
temos
f''(x) =4l[(2x-12)(x-6)+(x^2-12x)r] =12x^2-144x+288 =12l(x^2-12x+24r)
Resolvendo f''(x)=0:
x^2-12x+24=0 Longrightarrow x=6pm 2raiz3
Esses são os pontos de inflexão. Para confirmar, note que f''(x) muda de sinal em cada um deles. Os valores de f nesses pontos são
fl(6pm 2raiz3r)=576

Resposta

Pontos de mínimo local:
(x,f(x))=(0,0)e(12,0)
Ponto de máximo local:
(x,f(x))=(6,1296)
Intervalos de crescimento:
(0,6)e(12,infty)
Intervalos de decrescimento:
(-infty,0)e(6,12)
Pontos de inflexão:
l(6-2raiz3,576r) e l(6+2raiz3,576r)

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