Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Pontos de máximo e mínimo (locais).
- Intervalos de crescimento e decrescimento.
- Pontos de inflexão.
Para isso vamos precisar de cálculo de derivadas: a primeira derivada
para achar extremos e monotonicidade, e a segunda derivada
para achar pontos de inflexão e concavidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando produto e cadeia. Escrevendo
, temos
e
onde
. Logo
As raízes de
são
que são os candidatos a extremos.
Passo 3
Para determinar onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
Em cada intervalo:
-
: três fatores negativos (decrescente). -
: um fator positivo ( ) e dois negativos (crescente). -
: dois fatores positivos ( e ) e um negativo (decrescente). -
: três fatores positivos (crescente).
Passo 4
Classificação dos extremos pelo teste de sinal de
:
- Em
, vai de negativo para positivo mínimo local. - Em
, vai de positivo para negativo máximo local. - Em
, vai de negativo para positivo mínimo local.
Os valores são
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para achar inflexões. Partindo de
temos
Resolvendo
:
Esses são os pontos de inflexão. Para confirmar, note que
muda de sinal em cada um deles. Os valores de
nesses pontos são
Resposta
Pontos de mínimo local:
Ponto de máximo local:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Pontos de inflexão: