Encontre a soma da série sumn=0^infty x^n, onde |x|<1.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série geométrica
sumn=0^infty x^n
sob a condição de convergência lvert xrvert<1.
O conteúdo necessário é a soma de uma progressão geométrica infinita, que se obtém a partir da soma parcial de uma PG finita e do seu limite.

Passo 2

Definimos a soma parcial até o termo N:
SN = sumn=0^N x^n
Como isso é uma PG de razão xneq1, usamos a fórmula da soma finita de PG:
SN = 1 - x^,N+11 - x

Passo 3

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite de SN quando N to infty. Como lvert xrvert<1, temos
limNtoinfty x^,N+1 = 0
Logo
sumn=0^infty x^n = limNtoinfty SN = limNtoinfty1 - x^,N+11 - x = 11 - x

Resposta

sumn=0^infty x^n = 11 - x, lvert xrvert<1

Exercícios relacionados