Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=1x+3.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=1x+3
determinarmos (i) pontos de máximo e mínimo, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento, e (iii) pontos de inflexão. Para isso usaremos a primeira derivada para monotonicidade e extremos e a segunda derivada para concavidade e inflexão.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e calculamos a primeira derivada.
O domínio é xinRmid xneq -3.
A primeira derivada é
f'(x) = -1(x+3)^2

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x):
– Como (x+3)^2>0 para todo xneq -3, segue que f'(x)<0 em todo o domínio.
– Não existem pontos onde f'(x)=0, e a única descontinuidade de f' é em x=-3, que coincide com a descontinuidade de f.
Logo, não há pontos críticos no domínio e f é estritamente decrescente em (-infty,-3) e em (-3,infty). Portanto não há máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para ver concavidade e inflexão:
f''(x) = 2(x+3)^3
O sinal de f''(x) muda de acordo com o sinal de (x+3)^3:
– Em x<-3 temos (x+3)^3<0, logo f''(x)<0 (concavidade voltada para baixo).
– Em x>-3 temos (x+3)^3>0, logo f''(x)>0 (concavidade voltada para cima).
A mudança de concavidade ocorreria em x=-3, mas x=-3 não pertence ao domínio de f. Assim não há ponto de inflexão em que f esteja definida.

Resposta

Não existem pontos de máximo nem mínimo locais.
A função é estritamente decrescente em (-infty,-3) e em (-3,infty).
Não há pontos de inflexão no domínio de f.

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