Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos (i) pontos de máximo e mínimo, (ii) intervalos de crescimento e decrescimento, e (iii) pontos de inflexão. Para isso usaremos a primeira derivada para monotonicidade e extremos e a segunda derivada para concavidade e inflexão.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e calculamos a primeira derivada.
O domínio é .
A primeira derivada é
O domínio é
A primeira derivada é
Passo 3
Analisando o sinal de
:
– Como para todo
, segue que
em todo o domínio.
– Não existem pontos onde , e a única descontinuidade de
é em
, que coincide com a descontinuidade de
.
Logo, não há pontos críticos no domínio e é estritamente decrescente em
e em
. Portanto não há máximos nem mínimos locais.
– Como
– Não existem pontos onde
Logo, não há pontos críticos no domínio e
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para ver concavidade e inflexão:
O sinal de
muda de acordo com o sinal de
:
– Em temos
, logo
(concavidade voltada para baixo).
– Em temos
, logo
(concavidade voltada para cima).
A mudança de concavidade ocorreria em , mas
não pertence ao domínio de
. Assim não há ponto de inflexão em que
esteja definida.
– Em
– Em
A mudança de concavidade ocorreria em
Resposta
Não existem pontos de máximo nem mínimo locais.
A função é estritamente decrescente em e em
.
Não há pontos de inflexão no domínio de .
A função é estritamente decrescente em
Não há pontos de inflexão no domínio de