Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar
. os pontos de máximo e mínimo (extremos locais),
. os intervalos de crescimento e decrescimento,
. os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste de sinal para monotonia e concavidade.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste de sinal para monotonia e concavidade.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio e calculamos
.
O termo exige
. Assim, o domínio é
.
Calculamos a derivada:
O termo
Calculamos a derivada:
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
:
Passo 3
Analisamos o sinal de
para monotonia:
- Em
, temos e , logo . - Em
, mas é negativo de maior módulo, então . - Em
, domina , dando .
Portanto,
é decrescente em
e em
, e cresce em
.
No ponto crítico ,
passa de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local.
O valor é
No ponto crítico
O valor é
Passo 4
Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
Igualamos a zero para encontrar possível ponto de inflexão:
Testando o sinal de
:
- Para
, faz muito negativo mas de pequena magnitude, e , logo concavidade para cima. - Para
, é negativo de grande magnitude, resultando em , concavidade para baixo. - Para
, e , concavidade para cima.
No ponto
, há troca de sinal de
, é ponto de inflexão. Seu valor em
é
Resposta
Pontos de mínimo/máximo:
mínimo local em . Não há máximo local.
mínimo local em
Intervalos de monotonia:
decrescente em e em
; crescente em
.
decrescente em
Ponto de inflexão:
.
Intervalos de concavidade:
côncava para cima em \cup(0,\infty));
côncava para baixo em .
côncava para cima em
côncava para baixo em