Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=x^2+2x.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x) = x^2 + 2x
determinar
1. os pontos de máximo e mínimo (extremos locais),
2. os intervalos de crescimento e decrescimento,
3. os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, teste de sinal para monotonia e concavidade.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio e calculamos f'(x).
O termo 2x exige x neq 0. Assim, o domínio é Rsetminus0.
Calculamos a derivada:
f'(x) = ddxl(x^2r) + ddxl(2x^-1r) = 2x - 2x^-2 = 2x - 2x^2
Para encontrar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
2x - 2x^2 = 0 Longrightarrow 2x = 2x^2 Longrightarrow x^3 = 1 Longrightarrow x = 1

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) para monotonia:
  • Em x<0, temos 2x<0 e -2/x^2<0, logo f'(x)<0.
  • Em 0<x<1, 2x>0 mas -2/x^2 é negativo de maior módulo, então f'(x)<0.
  • Em x>1, 2x>0 domina ;-2/x^2, dando f'(x)>0.
Portanto, f é decrescente em (-infty,0) e em (0,1), e cresce em (1,infty).
No ponto crítico x=1, f' passa de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local.
O valor é
f(1)=1^2+21=3

Passo 4

Agora a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x) = ddxl(2x - 2x^-2r) = 2 + 4x^-3 = 2 + 4x^3
Igualamos a zero para encontrar possível ponto de inflexão:
2 + 4x^3 = 0 Longrightarrow 4x^3 = -2 Longrightarrow x^3 = -2 Longrightarrow x = -raiz[3]2
Testando o sinal de f''(x):
  • Para x<-raiz[3]2, x^3< -2 faz 4/x^3 muito negativo mas de pequena magnitude, e 2+4/x^3>0, logo concavidade para cima.
  • Para -raiz[3]2<x<0, 4/x^3 é negativo de grande magnitude, resultando em f''(x)<0, concavidade para baixo.
  • Para x>0, 4/x^3>0 e 2+4/x^3>0, concavidade para cima.
No ponto x=-raiz[3]2, há troca de sinal de f'', é ponto de inflexão. Seu valor em f é
fl(-raiz[3]2r) =l(-raiz[3]2r)^2+2-raiz[3]2 =2^2/3-2^2/3=0

Resposta

Pontos de mínimo/máximo:
mínimo local em l(1,3r). Não há máximo local.
Intervalos de monotonia:
decrescente em (- infty,0) e em (0,1); crescente em (1,infty).
Ponto de inflexão:
l(-raiz[3]2,0r).
Intervalos de concavidade:
côncava para cima em (- raiz[3]2,0)\cup(0,\infty));
côncava para baixo em (- raiz[3]2,0).

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