O muro de um prédio é escorado por uma barra metálica que deve passar por cima de um muro paralelo ao prédio de 5 m de altura, a 4 m de distância do prédio. Encontre o comprimento mínimo L da barra que pode ser utilizada.

Passo 1

O problema é o clássico “escorar uma escada por cima de um muro” de altura ,5 m, que fica a ,4 m do prédio. Precisamos achar o comprimento mínimo L de uma barra (ou escada) que, apoiada no chão de um lado do muro, passe pelo topo do muro e encoste na parede do prédio. Para resolver, vamos usar cálculo de otimização de função de uma variável.

Passo 2

Seja p>0 a distância horizontal do pé da barra até a base do muro (no mesmo plano do prédio). Então a barra é reta e passa pelos pontos
A=(4,5)(topo do muro),
B=(4+p,0)(pé no chão), éã
C=(0,H)(ponto de contato no prédio) é
A inclinação da reta AB dá o valor de H. Como o coeficiente angular de AB é
m=0-5(4+p)-4=-5p,
a reta que passa por A estende-se até x=0 com altura
H=5 + m,(0-4)=5 + l(-tfrac5pr),(-4)=5 + 20p

Passo 3

O comprimento da barra L é a distância entre B e C:
L(p) =raiz(4+p-0)^2 + (0-H)^2 =raiz(p+4)^2 +l(5+tfrac20pr)^2
Para facilitar, definimos
f(p)=L(p)^2=(p+4)^2 + l(5+20pr)^2
e procuramos p que anula f'(p).

Passo 4

Calculando f'(p):
f'(p) =2(p+4);+;2l(5+tfrac20pr)l(-tfrac20p^2r) =2l[(p+4)-20l(5+20/pr)p^2r]
A condição de extremo f'(p)=0 leva a
(p+4);=;20l(5+20/pr)p^2 Longrightarrow p^4+4p^3-100p-400=0
Uma das raízes positivas satisfaz
p^3=100 Longrightarrow p = 100^1/3

Passo 5

Substituindo p=100^1/3 em L(p),
Lmin =raizl(100^1/3+4r)^2 +l(5+tfrac20100^1/3r)^2
Usando a forma conhecida da “escada sobre o muro”,
Lmin =l(4^2/3+5^2/3r)^3/2 approx 12,7 m

Resposta

O comprimento mínimo é
Lmin=l(4^2/3+5^2/3r)^3/2approx 12,7 m

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