O muro de um prédio é escorado por uma barra metálica que deve passar por cima de um muro paralelo ao prédio de 5 m de altura, a 4 m de distância do prédio. Encontre o comprimento mínimo
da barra que pode ser utilizada.
Passo 1
O problema é o clássico “escorar uma escada por cima de um muro” de altura
m, que fica a
m do prédio. Precisamos achar o comprimento mínimo
de uma barra (ou escada) que, apoiada no chão de um lado do muro, passe pelo topo do muro e encoste na parede do prédio. Para resolver, vamos usar cálculo de otimização de função de uma variável.
Passo 2
Seja
a distância horizontal do pé da barra até a base do muro (no mesmo plano do prédio). Então a barra é reta e passa pelos pontos
A inclinação da reta
dá o valor de
. Como o coeficiente angular de
é
a reta que passa por
estende-se até
com altura
Passo 3
O comprimento da barra
é a distância entre
e
:
Para facilitar, definimos
e procuramos
que anula
.
Passo 4
Calculando
:
A condição de extremo
leva a
Uma das raízes positivas satisfaz
Passo 5
Substituindo
em
,
Usando a forma conhecida da “escada sobre o muro”,
Resposta
O comprimento mínimo é