Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=2|x|-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=2|x|-x^2
determinarmos
– os pontos de máximo e de mínimo;
– os intervalos em que f é crescente e decrescente;
– os pontos de inflexão.
Para isso, vamos escrever f em forma piecewise, calcular a derivada f', estudar o sinal de f' e depois usar a segunda derivada para inflexão.

Passo 2

Escrevendo
Em cada região, calculamos
As condições críticas vêm de não existe (canto em ).
– Para : .
– Para : .
– Em , sofre salto ( , ), é ponto de cúspide.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Em (-infty,-1), escolha x=-2: ,f'(-2)=-2-2(-2)=2>0. Logo f é crescente.
– Em (-1,0), escolha x=-0.5: ,f'(-0.5)=-2-2(-0.5)=-1<0. Logo f é decrescente.
– Em (0,1), escolha x=0.5: ,f'(0.5)=2-2(0.5)=1>0. Logo f é crescente.
– Em (1,infty), escolha x=2: ,f'(2)=2-4=-2<0. Logo f é decrescente.

Passo 4

Classificação dos pontos críticos:
– Em x=-1, f' colon + to -, logo há máximo local em
(-1,;f(-1)) =(-1,;2cdot1-1^2) =(-1,1)
– Em x=1, f' colon + to -, logo há máximo local em
(1,;f(1)) =(1,;2cdot1-1^2) =(1,1)
– Em x=0, f' colon - to +, há mínimo local em
(0,;f(0)) =(0,;0)

Passo 5

Para inflexão, usamos a segunda derivada em
Como , não há mudança de concavidade e, portanto, não existem pontos de inflexão.

Resposta

Pontos de máximo: (-1,1) e (1,1)
Ponto de mínimo: (0,0)
Intervalos de crescimento: (-infty,-1) e (0,1)
Intervalos de decrescimento: (-1,0) e (1,infty)
Pontos de inflexão: nenhum.

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