Obtenha a altura do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio 2 cm .
Passo 1
O enunciado pede a altura de um cilindro inscrito numa esfera de raio
cm de modo que o volume do cilindro seja máximo. O conteúdo utilizado será otimização de função via derivadas, e precisaremos relacionar geometricamente o raio do cilindro e sua altura.
Passo 2
Seja
a altura do cilindro e
seu raio. No corte que passa pelo eixo, o triângulo retângulo formado tem hipotenusa igual ao raio da esfera
cm e catetos
e
. Assim,
Passo 3
Isolando
em função de
:
O volume do cilindro é
Passo 4
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 5
Verificamos que é de fato máximo pelo sinal da segunda derivada:
que para
é negativo, confirmando máximo local.
Resposta
A altura do cilindro de volume máximo é
cm.