Obtenha a altura do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio 2 cm .

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cilindro inscrito numa esfera de raio 2 cm de modo que o volume do cilindro seja máximo. O conteúdo utilizado será otimização de função via derivadas, e precisaremos relacionar geometricamente o raio do cilindro e sua altura.

Passo 2

Seja h a altura do cilindro e r seu raio. No corte que passa pelo eixo, o triângulo retângulo formado tem hipotenusa igual ao raio da esfera R=2 cm e catetos r e tfrach2. Assim,
r^2 + l(tfrach2r)^2 = 2^2 = 4

Passo 3

Isolando r em função de h:
r = raiz4 - h^24
O volume do cilindro é
V = pi r^2 h = pil(4 - tfrach^24r),h = pil(4h - tfrach^34r)

Passo 4

Para encontrar o máximo, derivamos V(h) em relação a h e igualamos a zero:
V'(h) = pil(4 - tfrac3h^24r) Longrightarrow 4 - 3h^24 = 0 Longrightarrow 3h^2 = 16 Longrightarrow h = 4raiz3

Passo 5

Verificamos que é de fato máximo pelo sinal da segunda derivada:
V''(h) = -3pi2,h,
que para h>0 é negativo, confirmando máximo local.

Resposta

A altura do cilindro de volume máximo é 4raiz3 cm.

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