Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
f(x)=x^3x^2+3.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=x^3x^2+3: identificar máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para obter f'(x). Seja N(x)=x^3 e D(x)=x^2+3. Então
f'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2=3x^2(x^2+3)-x^3cdot2x(x^2+3)^2=x^2(x^2+9)(x^2+3)^2

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. O numerador x^2(x^2+9)=0 só zera em x=0. Como f'(x)>0 para todo xneq0, a função é estritamente crescente em ambos os lados de x=0 e não muda de sinal no ponto crítico, logo não há máximos nem mínimos locais.
Concluímos que f é crescente em ( -infty, +infty ) e não há intervalo em que seja decrescente. Também não existem extremos locais.

Passo 4

Para os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Partindo de f'(x)=x^4+9x^2(x^2+3)^2,
f''(x)=ddxl(x^4+9x^2(x^2+3)^2r)=6x,(9 - x^2)(x^2+3)^3

Passo 5

Os pontos de inflexão satisfazem f''(x)=0, ou seja, 6x(9-x^2)=0, dando x=-3,0,3.

Passo 6

Para verificar mudança de concavidade, observamos o sinal de f''(x):
itemize:
  • Para x<-3: x<0 e 9-x^2<0 => f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Entre -3,0: x<0, 9-x^2>0 => f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Entre 0,3: x>0, 9-x^2>0 => f''(x)>0 (côncava para cima).
  • Para x>3: x>0, 9-x^2<0 => f''(x)<0 (côncava para baixo).
    Portanto há inflexão em cada mudança de sinal de f'', ou seja, nos pontos x=-3,0,3. Calculando f(-3)=-9/4, f(0)=0 e f(3)=9/4.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais; a função é crescente em ( -infty, +infty ) e não é decrescente em nenhum intervalo; pontos de inflexão em:
(-3, -9/4),;(0,0),;(3,9/4)

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