Para cada função abaixo, determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos em que a função é crescente, decrescente e seus pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
: identificar máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda para isso.
Passo 2
Aplicamos a regra do quociente para obter
. Seja
e
. Então
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos
. O numerador
só zera em
. Como
para todo
, a função é estritamente crescente em ambos os lados de
e não muda de sinal no ponto crítico, logo não há máximos nem mínimos locais.
Concluímos que é crescente em
e não há intervalo em que seja decrescente. Também não existem extremos locais.
Concluímos que
Passo 4
Para os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Partindo de
,
Passo 5
Os pontos de inflexão satisfazem
, ou seja,
, dando
.
Passo 6
Para verificar mudança de concavidade, observamos o sinal de
:
itemize:
itemize:
- Para
: e => (côncava para cima). - Entre
: , => (côncava para baixo). - Entre
: , => (côncava para cima). - Para
: , => (côncava para baixo).
Portanto há inflexão em cada mudança de sinal de, ou seja, nos pontos . Calculando , e .
Resposta
Não há máximos nem mínimos locais; a função é crescente em
e não é decrescente em nenhum intervalo; pontos de inflexão em: