Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(b)
definida em
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
:
e pede: determinar todos os pontos críticos no domínio dado (que é
).
Informações importantes que temos do enunciado:
- A função é um polinômio de grau 4, definido para todo
. - Precisamos listar todos os pontos críticos (ou seja, todos os
no domínio onde a derivada é zero ou não está definida).
Passo 2
Definição prática que vamos usar: um ponto crítico de uma função é um ponto
do domínio tal que ou
ou
não está definida em
.
Como é polinomial,
existe para todo
. Portanto aqui os pontos críticos são exatamente os valores de
que anulam
.
Como
Agora calculamos
. Vou usar a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Passo 3
Para resolver
é útil fatorar
. Primeiro, tirar fator comum:
Portanto a equação
é equivalente a
Isto dá duas possibilidades:
ou
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
. Calculo o discriminante:
Como
, a quadrática não tem raízes reais. Conclusão: a única raiz real de
é
.
Assim, o único ponto crítico (onde
ou
não existe) em
é
.
Passo 5
Agora, além de encontrar o ponto, é útil classificar o tipo de ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de inflexão). Usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos
derivando
:
Podemos fatorar:
Avaliaremos em
:
Pelo teste da segunda derivada: se
então
tem um mínimo local em
. Logo
é um mínimo local.
Podemos ainda mostrar que esse mínimo é global: reescrevendo
,
Notando que
para todo
, temos
. Assim
para todo
, e a igualdade
ocorre somente quando
, i.e.
. Portanto
é o único ponto onde
atinge o menor valor possível (que é
), isto é, é um mínimo global único.