Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(b) g(x)=x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2} definida em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a função definida em \mathbb{R}:
g(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2},
e pede: determinar todos os pontos críticos no domínio dado (que é \mathbb{R}).
Informações importantes que temos do enunciado:
  • A função é um polinômio de grau 4, definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • Precisamos listar todos os pontos críticos (ou seja, todos os x no domínio onde a derivada é zero ou não está definida).

Passo 2

Definição prática que vamos usar: um ponto crítico de uma função é um ponto c do domínio tal que ou \,g'\text{(c)}=0 ou \,g' não está definida em c.
Como g é polinomial, g' existe para todo x\in\mathbb{R}. Portanto aqui os pontos críticos são exatamente os valores de x que anulam g'(x).
Agora calculamos g'(x). Vou usar a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\text{Se }g(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2},\quad\text{então}ã
g'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x.

Passo 3

Para resolver g'(x)=0 é útil fatorar g'(x). Primeiro, tirar fator comum:
g'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x=4x\bigl(x^{2}-3x+3\bigr).
Portanto a equação g'(x)=0 é equivalente a
4x\bigl(x^{2}-3x+3\bigr)=0.
Isto dá duas possibilidades: x=0 ou x^{2}-3x+3=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x^{2}-3x+3=0. Calculo o discriminante:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot3 =9-12 = -3.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais. Conclusão: a única raiz real de g'(x) é x=0.
Assim, o único ponto crítico (onde g'(x)=0 ou g' não existe) em \mathbb{R} é x=0.

Passo 5

Agora, além de encontrar o ponto, é útil classificar o tipo de ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de inflexão). Usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos g''(x) derivando g'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x:
g''(x)=12x^{2}-24x+12.
Podemos fatorar:
g''(x)=12\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=12(x-1)^{2}.
Avaliaremos em x=0:
g''(0)=12(0-1)^{2}=12>0.
Pelo teste da segunda derivada: se g''\text{(c)}>0 então g tem um mínimo local em c. Logo x=0 é um mínimo local.
Podemos ainda mostrar que esse mínimo é global: reescrevendo g,
g(x)=x^{2}\bigl(x^{2}-4x+6\bigr)=x^{2}\bigl((x-2)^{2}+2\bigr).
Notando que (x-2)^{2}\ge0 para todo x, temos (x-2)^{2}+2\ge2>0. Assim g(x)=x^{2}\bigl((x-2)^{2}+2\bigr)\ge0 para todo x, e a igualdade g(x)=0 ocorre somente quando x^{2}=0, i.e. x=0. Portanto x=0 é o único ponto onde g atinge o menor valor possível (que é g(0)=0), isto é, é um mínimo global único.

Resposta

x=0 (único ponto crítico; mínimo global com g(0)=0)

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