Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(i) h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos (x) definida em [0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede: “Para a função \,h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x) definida em [0,2\pi], determine todos os pontos críticos no domínio dado.”
Informações dadas:
  • A função é \,h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,2\pi].
  • Precisa-se encontrar todos os pontos x em [0,2\pi] onde h tem derivada nula ou a derivada não existe (definição padrão de ponto crítico).

Passo 2

Definição e estratégia: um ponto crítico é um ponto do domínio onde \,h'(x)=0 ou onde \,h'(x) não existe. Aqui a função é soma de funções trigonométricas suaves, então a derivada existe para todo x; portanto basta resolver \,h'(x)=0.
Calculemos a derivada usando as regras básicas:
  • A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x).
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x).
Logo,
h'(x)=\cos(x)-\sin(x).

Passo 3

Resolver a equação \,h'(x)=0:
\cos(x)-\sin(x)=0.
Isto é equivalente a
\cos(x)=\sin(x).
Para transformar essa igualdade em uma equação mais simples, dividimos ambos os lados por \cos(x), lembrando de checar depois se \cos(x)=0 causa problemas. Dividindo quando \cos(x)\neq0,
\tan(x)=1.
Observação sobre o caso \cos(x)=0: se \cos(x)=0 então \cos(x)-\sin(x)=-\sin(x). Mas quando \cos(x)=0 temos \sin(x)=\pm1, logo -\sin(x) é \mp1\neq0. Portanto os pontos com \cos(x)=0 não satisfazem \,h'(x)=0 e não são soluções — a divisão foi segura após essa verificação.

Passo 4

Soluções gerais de \,\tan(x)=1:
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora restringimos ao intervalo [0,2\pi]. Tomando valores inteiros de k:
  • Para k=0: x=\dfrac{\pi}{4} (está em [0,2\pi]).
  • Para k=1: x=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4} (está em [0,2\pi]).
  • Para k=2: x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi=\dfrac{9\pi}{4}>2\pi (fora do intervalo).
  • Para k=-1: x=\dfrac{\pi}{4}-\pi=-\dfrac{3\pi}{4}<0 (fora do intervalo).
Portanto as soluções no domínio são \,x=\dfrac{\pi}{4} e \,x=\dfrac{5\pi}{4}.

Passo 5

Verificação alternativa (útil como técnica de prova e para decorar): escrever a soma seno+coseno como uma única seno deslocado. Usando identidade de soma de fase,
\operatorname{sen}(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Derivando essa forma:
h'(x)=\sqrt{2}\,\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Zerando:
\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad x+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,
o que dá novamente x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi e, no intervalo [0,2\pi], as mesmas duas soluções \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}. Essa verificação confirma que não houve erro.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}
\dfrac{5\pi}{4}

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