Para cada função abaixo, determine todos os pontos críticos no domínio dado:
(i)
definida em
(i)
Passo 1
O enunciado pede: “Para a função
definida em
, determine todos os pontos críticos no domínio dado.”
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
. - Precisa-se encontrar todos os pontos
em onde tem derivada nula ou a derivada não existe (definição padrão de ponto crítico).
Passo 2
Definição e estratégia: um ponto crítico é um ponto do domínio onde
ou onde
não existe. Aqui a função é soma de funções trigonométricas suaves, então a derivada existe para todo
; portanto basta resolver
.
Calculemos a derivada usando as regras básicas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo,
Passo 3
Resolver a equação
:
Isto é equivalente a
Para transformar essa igualdade em uma equação mais simples, dividimos ambos os lados por
, lembrando de checar depois se
causa problemas. Dividindo quando
,
Observação sobre o caso
: se
então
. Mas quando
temos
, logo
é
. Portanto os pontos com
não satisfazem
e não são soluções — a divisão foi segura após essa verificação.
Passo 4
Soluções gerais de
:
Agora restringimos ao intervalo
. Tomando valores inteiros de
:
- Para
: (está em ). - Para
: (está em ). - Para
: (fora do intervalo). - Para
: (fora do intervalo).
Portanto as soluções no domínio são
e
.
Passo 5
Verificação alternativa (útil como técnica de prova e para decorar): escrever a soma seno+coseno como uma única seno deslocado. Usando identidade de soma de fase,
Derivando essa forma:
Zerando:
o que dá novamente
e, no intervalo
, as mesmas duas soluções
e
. Essa verificação confirma que não houve erro.