Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(h) f(x)=x^{3}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^{3}-x^{2},
que a gente encontre: pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade (para cima e para baixo), pontos de inflexão e faça um esboço do gráfico. O conteúdo principal aqui é usar derivadas primeira e segunda, além de propriedades de polinômios (sem assíntotas).

Passo 2

Calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)=3x^{2}-2x.
Para pontos críticos, resolvemos
3x^{2}-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(3x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Determinar o sinal de f'(x) em cada região.
Para isso, escolhemos pontos em
-\infty< x<0, 0<x<\tfrac{2}{3} e x>\tfrac{2}{3}.
– Se x<0, então x<0 e 3x-2<0, logo f'(x)>0.
– Se 0<x<\tfrac{2}{3}, então x>0 e 3x-2<0, logo f'(x)<0.
– Se x>\tfrac{2}{3}, então x>0 e 3x-2>0, logo f'(x)>0.
Portanto, f cresce em (-\infty,0) e \bigl(\tfrac{2}{3},\infty\bigr), e decresce em \bigl(0,\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 4

Classificar os extremos relativos usando a variação de sinal de f'.
– Em x=0, f' muda de positivo para negativo \Rightarrow extremum é máximo relativo.
– Em x=\tfrac{2}{3}, f' muda de negativo para positivo \Rightarrow extremum é mínimo relativo.
Calcular os valores:
f(0)=0^{3}-0^{2}=0, \qquad f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3} -\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2} =\tfrac{8}{27}-\tfrac{4}{9} =\tfrac{8-12}{27} =-\tfrac{4}{27}.

Passo 5

Verificar assíntotas. Como f é polinomial de grau 3, ela não tem assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas (vai para \pm\infty conforme x\to\pm\infty).

Passo 6

Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e inflexão.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x\bigr)=6x-2.
Resolver f''(x)=0:
6x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Determinar a concavidade em cada região definida por x=\tfrac{1}{3}.
– Se x<\tfrac{1}{3}, então 6x-2<0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
– Se x>\tfrac{1}{3}, então 6x-2>0 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow côncavo para cima.

Passo 8

Encontrar o ponto de inflexão, que ocorre em x=\tfrac{1}{3}.
O valor de f ali é
f\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{3} -\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} =\tfrac{1}{27}-\tfrac{1}{9} =\tfrac{1-3}{27} =-\tfrac{2}{27}.
Logo, ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{27}\bigr).

Resposta

Pontos críticos:
x=0\;(f(0)=0),\quad x=\tfrac{2}{3}\;(f=\!- \tfrac{4}{27}).
Crescimento e decrescimento:
\text{cresce em }(-\infty,0)\cup(\tfrac{2}{3},\infty), \quad \text{decresce em }(0,\tfrac{2}{3}).
Extremos relativos:
\text{máximo em }(0,0), \quad \text{mínimo em }\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{27}\bigr).áí
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade:
\text{côncavo para baixo em }(-\infty,\tfrac{1}{3}), \quad \text{côncavo para cima em }(\tfrac{1}{3},\infty).ôô
Ponto de inflexão:
\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{27}\bigr).
Esboço: cubicão que sobe até (0,0), desce até (\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{27}), com inflexão em (\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{27}), e depois cresce indefinidamente.

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