Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente encontre: pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade (para cima e para baixo), pontos de inflexão e faça um esboço do gráfico. O conteúdo principal aqui é usar derivadas primeira e segunda, além de propriedades de polinômios (sem assíntotas).
Passo 2
Calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos.
Para pontos críticos, resolvemos
Passo 3
Determinar o sinal de
em cada região.
Para isso, escolhemos pontos em
,
e
.
– Se , então
e
, logo
.
– Se , então
e
, logo
.
– Se , então
e
, logo
.
Para isso, escolhemos pontos em
– Se
– Se
– Se
Portanto,
cresce em
e
, e decresce em
.
Passo 4
Classificar os extremos relativos usando a variação de sinal de
.
– Em ,
muda de positivo para negativo
extremum é máximo relativo.
– Em ,
muda de negativo para positivo
extremum é mínimo relativo.
– Em
– Em
Calcular os valores:
Passo 5
Verificar assíntotas. Como
é polinomial de grau
, ela não tem assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas (vai para
conforme
).
Passo 6
Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e inflexão.
Resolver
:
Passo 7
Determinar a concavidade em cada região definida por
.
– Se , então
côncavo para baixo.
– Se , então
côncavo para cima.
– Se
– Se
Passo 8
Encontrar o ponto de inflexão, que ocorre em
.
O valor de ali é
O valor de
Logo, ponto de inflexão em
.
Resposta
Pontos críticos:
Crescimento e decrescimento:
Extremos relativos:
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade:
Ponto de inflexão:
.
Esboço: cubicão que sobe até
, desce até
, com inflexão em
, e depois cresce indefinidamente.