Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
e encontrar
– pontos críticos,
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– extremos relativos,
– assíntotas,
– concavidade e pontos de inflexão,
além de esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para fazer essa análise.
– pontos críticos,
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– extremos relativos,
– assíntotas,
– concavidade e pontos de inflexão,
além de esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para fazer essa análise.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada:
Para achar pontos críticos, resolvemos
. Como
para todo
, basta
Estudando o sinal de
:
– Se então
e
, logo
.
– Se então
e
, logo
.
Portanto cresce em
e decresce em
, com um máximo relativo em
– Se
– Se
Portanto
cujo valor é
Passo 3
Assíntotas:
– Não há assíntotas verticais porque a função é inteira.
– Para ,
e
, logo
– Não há assíntotas verticais porque a função é inteira.
– Para
isto é, assíntota horizontal
à esquerda.
– Para ,
domina e
, não existindo assíntota horizontal nem oblíqua à direita.
– Para
Passo 4
Calculamos a segunda derivada:
Para pontos de inflexão, resolvemos
:
Analisando o sinal de
:
– Se então
e
, concavidade para cima.
– Se então
e
, concavidade para baixo.
O ponto de inflexão é
– Se
– Se
O ponto de inflexão é
Passo 5
Esboço do gráfico:
– Cresce até , atinge máximo
, depois decresce indefinidamente.
– Toca o eixo em .
– Assíntota horizontal quando
.
– Concavo para cima em , inflexão em
, depois concavo para baixo.
Isso basta para desenhar o perfil: aproximar de zero pela esquerda, subir até o máximo, descer passando pela origem e cair para .
– Cresce até
– Toca o eixo em
– Assíntota horizontal
– Concavo para cima em
Isso basta para desenhar o perfil: aproximar de zero pela esquerda, subir até o máximo, descer passando pela origem e cair para
Resposta
Pontos críticos:
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Extremo relativo: máximo em .
Assíntota horizontal: para
.
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Ponto de inflexão: .
Crescimento:
Decrescimento:
Extremo relativo: máximo em
Assíntota horizontal:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Ponto de inflexão: