Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(i) f(x)=e^{x}-e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=e^{x}-e^{3x}
e encontrar
– pontos críticos,
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– extremos relativos,
– assíntotas,
– concavidade e pontos de inflexão,
além de esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para fazer essa análise.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-e^{3x}\bigr) =e^{x}-3e^{3x} =e^{x}\bigl(1-3e^{2x}\bigr).
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^{x}>0 para todo x, basta
1-3e^{2x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-\ln3 \quad\Longrightarrow\quad x=-\tfrac12\ln3.
Estudando o sinal de f'(x):
– Se x<-\tfrac12\ln3 então e^{2x}<\tfrac13 e 1-3e^{2x}>0, logo f'(x)>0.
– Se x>-\tfrac12\ln3 então e^{2x}>\tfrac13 e 1-3e^{2x}<0, logo f'(x)<0.
Portanto f cresce em (-\infty,-\tfrac12\ln3) e decresce em (-\tfrac12\ln3,\infty), com um máximo relativo em
x_0=-\tfrac12\ln3,
cujo valor é
f(x_0) = e^{-\frac12\ln3}-e^{3\bigl(-\frac12\ln3\bigr)} =3^{-\frac12}-3^{-\frac32} =\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{3\sqrt3} =\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{9}.

Passo 3

Assíntotas:
– Não há assíntotas verticais porque a função é inteira.
– Para x\to-\infty, e^{x}\to0 e e^{3x}\to0, logo
\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,
isto é, assíntota horizontal y=0 à esquerda.
– Para x\to+\infty, e^{3x} domina e f(x)\to-\infty, não existindo assíntota horizontal nem oblíqua à direita.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-3e^{3x}\bigr) =e^{x}-9e^{3x} =e^{x}\bigl(1-9e^{2x}\bigr).
Para pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
1-9e^{2x}=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}=\tfrac19 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-\ln9 \quad\Longrightarrow\quad x=-\ln3.
Analisando o sinal de f'':
– Se x<-\ln3 então e^{2x}<\tfrac19 e 1-9e^{2x}>0, concavidade para cima.
– Se x>-\ln3 então e^{2x}>\tfrac19 e 1-9e^{2x}<0, concavidade para baixo.
O ponto de inflexão é
\bigl(-\ln3,\;f(-\ln3)\bigr), \quad f(-\ln3)=e^{-\ln3}-e^{3(-\ln3)} =\tfrac13-\tfrac1{27} =\tfrac{8}{27}.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Cresce até x=-\tfrac12\ln3, atinge máximo f=-\tfrac12\ln3\mapsto\frac{2\sqrt3}{9}, depois decresce indefinidamente.
– Toca o eixo em f(0)=1-1=0.
– Assíntota horizontal y=0 quando x\to-\infty.
– Concavo para cima em (-\infty,-\ln3), inflexão em \bigl(-\ln3,\tfrac8{27}\bigr), depois concavo para baixo.
Isso basta para desenhar o perfil: aproximar de zero pela esquerda, subir até o máximo, descer passando pela origem e cair para -\infty.

Resposta

Pontos críticos: x=-\tfrac12\ln3.
Crescimento: (-\infty,-\tfrac12\ln3).
Decrescimento: (-\tfrac12\ln3,\infty).
Extremo relativo: máximo em \bigl(-\tfrac12\ln3,\tfrac{2\sqrt3}{9}\bigr).
Assíntota horizontal: y=0 para x\to-\infty.
Concavidade para cima: (-\infty,-\ln3).
Concavidade para baixo: (-\ln3,\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(-\ln3,\tfrac{8}{27}\bigr).

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