Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(k) f(x)=\frac{2 x^{2}-3}{3 x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede análise completa da função racional
f(x)=\frac{2x^{2}-3}{3x^{2}+5},
incluindo domínio, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e a comparação de graus entre numerador e denominador para encontrar as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é todo o conjunto dos reais, pois o denominador 3x^{2}+5 nunca se anula para x\in\mathbb{R}. Como o grau do numerador e do denominador é igual, existe assíntota horizontal dada pelo quociente dos coeficientes líderes:
y=\frac{2}{3}.
Não há assíntotas verticais.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por quociente ou produto:
f'(x) =\frac{(4x)(3x^{2}+5)-(2x^{2}-3)(6x)}{(3x^{2}+5)^{2}} =\frac{38x}{(3x^{2}+5)^{2}}.
De f'(x)=0 obtém-se o único ponto crítico x=0. Como (3x^{2}+5)^{2}>0 sempre, o sinal de f' é o mesmo do numerador 38x:
– Para x<0, f'(x)<0, então f é decrescente em (-\infty,0).
– Para x>0, f'(x)>0, então f é crescente em (0,\infty).
Em x=0 há um mínimo relativo com valor
f(0)=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}.

Passo 4

Agora a derivada segunda. Partindo de
f'(x)=38x\,(3x^{2}+5)^{-2},
obtém-se
f''(x) =\frac{190-342x^{2}}{(3x^{2}+5)^{3}}.
O denominador é sempre positivo, logo o sinal de f'' vem do numerador 190-342x^{2}. Assim:
f''(x)>0 se 190-342x^{2}>0, isto é, \lvert x\rvert<\sqrt{\tfrac{95}{171}}. Nessas regiões, o gráfico é côncavo para cima.
f''(x)<0 se \lvert x\rvert>\sqrt{\tfrac{95}{171}}. Nessas regiões, é côncavo para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem em
x=\pm\sqrt{\frac{95}{171}}, \quad f\Bigl(\pm\sqrt{\tfrac{95}{171}}\Bigr) =-\frac{323}{1140}.

Passo 5

Resumo para o esboço:
– Domínio: \mathbb{R}.
– Assíntota horizontal: y=\tfrac{2}{3}.
– Crescimento: (0,\infty).
– Decrescimento: (-\infty,0).
– Extremo relativo: mínimo em \bigl(0,-\tfrac{3}{5}\bigr).
– Concavidade para cima: \bigl(-\sqrt{\tfrac{95}{171}},\,\sqrt{\tfrac{95}{171}}\bigr).
– Concavidade para baixo: (-\infty,-\sqrt{\tfrac{95}{171}})\cup(\sqrt{\tfrac{95}{171}},\infty).
– Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{95}{171}},-\tfrac{323}{1140}\bigr).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Assíntota horizontal: y=\tfrac{2}{3}.
Ponto crítico: x=0, mínimo relativo em \bigl(0,-\tfrac{3}{5}\bigr).
Crescente em (0,\infty), decrescente em (-\infty,0).
Pontos de inflexão:
\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{95}{171}},-\tfrac{323}{1140}\bigr).
Côncavo para cima em \bigl(-\sqrt{\tfrac{95}{171}},\sqrt{\tfrac{95}{171}}\bigr), côncavo para baixo fora desse intervalo.
Esboço: curva com mínimo em (0,-0,6), aproximando-se de y=2/3 para x\to\pm\infty, mudando concavidade nos pontos de inflexão.

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