Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(k)
(k)
Passo 1
O enunciado pede análise completa da função racional
incluindo domínio, assíntotas, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos relativos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas de primeira e segunda ordem e a comparação de graus entre numerador e denominador para encontrar as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é todo o conjunto dos reais, pois o denominador
nunca se anula para
. Como o grau do numerador e do denominador é igual, existe assíntota horizontal dada pelo quociente dos coeficientes líderes:
Não há assíntotas verticais.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por quociente ou produto:
De
obtém-se o único ponto crítico
. Como
sempre, o sinal de
é o mesmo do numerador
:
– Para ,
, então
é decrescente em
.
– Para ,
, então
é crescente em
.
Em há um mínimo relativo com valor
– Para
– Para
Em
Passo 4
Agora a derivada segunda. Partindo de
obtém-se
O denominador é sempre positivo, logo o sinal de
vem do numerador
. Assim:
– se
, isto é,
. Nessas regiões, o gráfico é côncavo para cima.
– se
. Nessas regiões, é côncavo para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem em
–
–
Os pontos de inflexão ocorrem em
Passo 5
Resumo para o esboço:
– Domínio: .
– Assíntota horizontal: .
– Crescimento: .
– Decrescimento: .
– Extremo relativo: mínimo em .
– Concavidade para cima: .
– Concavidade para baixo: .
– Pontos de inflexão em .
– Domínio:
– Assíntota horizontal:
– Crescimento:
– Decrescimento:
– Extremo relativo: mínimo em
– Concavidade para cima:
– Concavidade para baixo:
– Pontos de inflexão em
Resposta
Domínio:
.
Assíntota horizontal: .
Ponto crítico: , mínimo relativo em
.
Crescente em , decrescente em
.
Pontos de inflexão:
.
Côncavo para cima em , côncavo para baixo fora desse intervalo.
Esboço: curva com mínimo em , aproximando-se de
para
, mudando concavidade nos pontos de inflexão.
Assíntota horizontal:
Ponto crítico:
Crescente em
Pontos de inflexão:
Côncavo para cima em
Esboço: curva com mínimo em