Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(l)
(l)
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente identifique
- pontos críticos,
- intervalos de crescimento e decrescimento,
- extremos relativos,
- assíntotas,
- concavidade e pontos de inflexão,
- esboce o gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda para fazer isso.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira usando regra do produto:
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou onde
não existe. Como
para todo
, só temos
Passo 4
Para ver onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
Como
, o sinal vem de
:
- Se
, então e , logo cresce em . - Se
, então e , logo decresce em .
Passo 5
Em
a função muda de crescente para decrescente, portanto há um máximo relativo em
Passo 6
Assíntotas:
- Não há assíntotas verticais (domínio é todo
). - Como
,
então
é assíntota horizontal para
.
- Para
,
logo não há assíntota horizontal por esse lado.
Passo 7
Agora a derivada segunda:
Passo 8
Para a concavidade, veja o sinal de
:
- Se
, então e : côncavo para baixo em . - Se
, então e : côncavo para cima em .
Emtemos ponto de inflexão, pois e troca de sinal. O valor é
Passo 9
Para esboçar:
- Intercepto em
: . - Cresce até
, atinge máximo, depois decresce e tende a zero por cima. - Para
, . - Côncavo para baixo até
, depois côncavo para cima. - Assíntota horizontal
para .
Resposta
Pontos críticos:
.
Cresce em , decresce em
.
Máximo relativo em .
Assíntota horizontal para
; nenhuma outra.
Concavidade: côncavo para baixo em , côncavo para cima em
.
Ponto de inflexão em .
Gráfico conforme descrito.
Cresce em
Máximo relativo em
Assíntota horizontal
Concavidade: côncavo para baixo em
Ponto de inflexão em
Gráfico conforme descrito.