Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(l) f(x)=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x e^{-x}
que a gente identifique
  1. pontos críticos,
  2. intervalos de crescimento e decrescimento,
  3. extremos relativos,
  4. assíntotas,
  5. concavidade e pontos de inflexão,
  6. esboce o gráfico.
    Vamos usar derivadas primeira e segunda para fazer isso.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira usando regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{-x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =e^{-x}+x\bigl(-e^{-x}\bigr) =e^{-x}(1-x).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou onde f' não existe. Como e^{-x}>0 para todo x, só temos
1 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Para ver onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de
f'(x)=e^{-x}(1-x).
Como e^{-x}>0, o sinal vem de 1-x:
  • Se x<1, então 1-x>0 e f'(x)>0, logo f cresce em (-\infty,1).
  • Se x>1, então 1-x<0 e f'(x)<0, logo f decresce em (1,\infty).

Passo 5

Em x=1 a função muda de crescente para decrescente, portanto há um máximo relativo em
x=1, \quad f(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.

Passo 6

Assíntotas:
  • Não há assíntotas verticais (domínio é todo \mathbb{R}).
  • Como x\to+\infty,
f(x)=x e^{-x}=\frac{x}{e^x}\to0,
então y=0 é assíntota horizontal para x\to+\infty.
  • Para x\to-\infty,
f(x)=x e^{-x}=\frac{x}{e^x}\to-\infty,
logo não há assíntota horizontal por esse lado.

Passo 7

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}(1-x)\bigr] =-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1) =-e^{-x}(1-x+1) =-e^{-x}(2-x) =e^{-x}(x-2).

Passo 8

Para a concavidade, veja o sinal de f''(x)=e^{-x}(x-2):
  • Se x<2, então x-2<0 e f''(x)<0: côncavo para baixo em (-\infty,2).
  • Se x>2, então x-2>0 e f''(x)>0: côncavo para cima em (2,\infty).
    Em x=2 temos ponto de inflexão, pois f''(2)=0 e troca de sinal. O valor é
f(2)=2e^{-2}.

Passo 9

Para esboçar:
  • Intercepto em x=0: f(0)=0.
  • Cresce até (1,e^{-1}), atinge máximo, depois decresce e tende a zero por cima.
  • Para x\to -\infty, f(x)\to -\infty.
  • Côncavo para baixo até x=2, depois côncavo para cima.
  • Assíntota horizontal y=0 para x\to+\infty.

Resposta

Pontos críticos: x=1.
Cresce em (-\infty,1), decresce em (1,\infty).
Máximo relativo em \bigl(1,e^{-1}\bigr).
Assíntota horizontal y=0 para x\to+\infty; nenhuma outra.
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,2), côncavo para cima em (2,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(2,2e^{-2}\bigr).
Gráfico conforme descrito.

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