Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(m) f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+7}}

Passo 1

O enunciado pede, para
f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}},
que determinemos os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões de concavidade para baixo e para cima, os pontos de inflexão e, por fim, esbocemos o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e limites no infinito para achar tudo isso.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra do quociente ou a forma fatorada f(x)=x\,(x^2+7)^{-1/2}. Assim,
f'(x) = (x^2+7)^{-1/2} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+7)^{-3/2}\cdot2x = \frac{x^2+7 - x^2}{(x^2+7)^{3/2}} = \frac{7}{(x^2+7)^{3/2}}.
Como o denominador é sempre positivo, f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

De f'(x)>0 em (-\infty,\infty) concluímos que:
1. Não há pontos onde f'(x)=0 nem onde f'(x) deixa de existir, logo não há pontos críticos.
2. f é estritamente crescente em toda reta.
3. Não existem extremos relativos (mínimos ou máximos) internos.

Passo 4

Buscamos assíntotas horizontais pelos limites em \pm\infty:
\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+7}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{|x|}{\sqrt{x^2+7}} =1,
\lim_{x\to-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+7}} =-1.
Logo há assíntotas horizontais y=1 e y=-1. Não há assíntotas verticais pois o domínio é \mathbb{R}.

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f'(x)=7\,(x^2+7)^{-3/2} \quad\Longrightarrow\quad f''(x) =7\cdot\bigl(-\tfrac32\bigr)(x^2+7)^{-5/2}\cdot2x =\frac{-21\,x}{(x^2+7)^{5/2}}.
  • f''(x)=0 só em x=0.
  • Para x<0, -21x>0 e denominador> 0, logo f''(x)>0 \Rightarrow côncavo para cima em (-\infty,0).
  • Para x>0, -21x<0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow côncavo para baixo em (0,\infty).
    O ponto de inflexão é \bigl(0,f(0)\bigr)=(0,0).

Passo 6

Resumo das características e esboço mental do gráfico:
  • Crescente em toda reta, sem extremos.
  • Assíntotas horizontais em y=1 e y=-1.
  • Passa por (0,0).
  • Côncavo para cima em (-\infty,0) e côncavo para baixo em (0,\infty).
  • É uma função ímpar ( f(-x)=-f(x)), aproximando-se de -1 à esquerda e de +1 à direita.

Resposta

Pontos críticos: nenhum.
Crescimento: estritamente crescente em (-\infty,\infty).
Extremos relativos: nenhum.
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0), côncava para baixo em (0,\infty).
Ponto de inflexão: (0,0).
Gráfico: curva ímpar que passa por (0,0), sobe de -1 a 1, muda de concavidade em x=0.

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