Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado pede, para
que determinemos os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões de concavidade para baixo e para cima, os pontos de inflexão e, por fim, esbocemos o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e limites no infinito para achar tudo isso.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando a regra do quociente ou a forma fatorada
. Assim,
Como o denominador é sempre positivo,
para todo
.
Passo 3
De
em
concluímos que:
. Não há pontos onde
nem onde
deixa de existir, logo não há pontos críticos.
.
é estritamente crescente em toda reta.
. Não existem extremos relativos (mínimos ou máximos) internos.
Passo 4
Buscamos assíntotas horizontais pelos limites em
:
Logo há assíntotas horizontais
e
. Não há assíntotas verticais pois o domínio é
.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para concavidade e inflexão:
-
só em . - Para
, e denominador> , logo côncavo para cima em . - Para
, côncavo para baixo em .
O ponto de inflexão é.
Passo 6
Resumo das características e esboço mental do gráfico:
- Crescente em toda reta, sem extremos.
- Assíntotas horizontais em
e . - Passa por
. - Côncavo para cima em
e côncavo para baixo em . - É uma função ímpar (
), aproximando-se de à esquerda e de à direita.
Resposta
Pontos críticos: nenhum.
Crescimento: estritamente crescente em .
Extremos relativos: nenhum.
Assíntotas horizontais: e
.
Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
.
Ponto de inflexão: .
Gráfico: curva ímpar que passa por , sobe de
a
, muda de concavidade em
.
Crescimento: estritamente crescente em
Extremos relativos: nenhum.
Assíntotas horizontais:
Concavidade: côncava para cima em
Ponto de inflexão:
Gráfico: curva ímpar que passa por