Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(n) f(x)=\frac{x+3}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=\frac{x+3}{x^2}
incluindo pontos críticos, monotonia, extremos relativos, assíntotas, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, estudar seus sinais e também os limites em x\to0^\pm e x\to\pm\infty.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada por produto ou quociente. É mais rápido usar f(x)=(x+3)x^{-2}:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x+3)x^{-2}\bigr] =x^{-2}-2(x+3)x^{-3} =\frac{x-2(x+3)}{x^3} =\frac{-x-6}{x^3} =-\frac{x+6}{x^3}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não existe dentro do domínio. O numerador anula em x+6=0, isto é, x=-6. A derivada não existe em x=0, mas esse ponto sai do domínio (é assíntota vertical).
Para estudar a monotonia fazemos o quadro de sinais de
f'(x)=-\frac{x+6}{x^3}
em três intervalos:
(-\infty,-6),\quad(-6,0),\quad(0,\infty).
Avaliação rápida mostra:
  • Em (-\infty,-6): x+6<0 e x^3<0 \Rightarrow \;f'<0 \Rightarrow decrescente.
  • Em (-6,0): x+6>0 e x^3<0 \Rightarrow \;f'>0 \Rightarrow crescente.
  • Em (0,\infty): x+6>0 e x^3>0 \Rightarrow \;f'<0 \Rightarrow decrescente.
Logo há um mínimo relativo em x=-6, com
f(-6)=\frac{-6+3}{(-6)^2}=-\frac{3}{36}=-\frac{1}{12}.

Passo 4

Assíntotas verticais vêm de pontos onde f não existe e o limite diverge. Aqui x=0 é assíntota vertical. De fato
\lim_{x\to0^\pm}f(x) =\lim_{x\to0^\pm}\frac{x+3}{x^2}=+\infty.
Assíntota horizontal busca \lim_{x\to\pm\infty}f(x):
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+3}{x^2} =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\tfrac1x+\tfrac3{x^2}\Bigr)=0.
Portanto y=0 é assíntota horizontal.

Passo 5

Para concavidade e pontos de inflexão, derivamos de novo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\Bigl[-\tfrac{x+6}{x^3}\Bigr] =\frac{2x+18}{x^4} =\frac{2(x+9)}{x^4}.
Como x^4>0 (exceto em x=0), o sinal de f'' vem de x+9.
  • Se x<-9, x+9<0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
  • Se -9<x<0 ou x>0, x+9>0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncavo para cima.
Há ponto de inflexão em x=-9, com
f(-9)=\frac{-9+3}{(-9)^2}=-\frac{6}{81}=-\frac{2}{27}.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • De -\infty a -6: f\to0^- em -\infty, decresce e é côncavo para baixo até x=-9, depois côncavo para cima, chegando ao mínimo em (-6,-1/12).
  • De -6 a 0: cresce, côncavo para cima, e dispara para +\infty quando x\to0^-.
  • Em x=0: assíntota vertical.
  • De 0 a +\infty: f\to+\infty em 0^+, decresce e é côncavo para cima, aproximando-se de y=0 quando x\to+\infty.

Resposta

Pontos críticos: x=-6 (mínimo relativo) e x=0 (assíntota vertical).
Regiões de crescimento: -6<x<0.
Regiões de decrescimento: x<-6 e x>0.
Extremo relativo: mínimo em \bigl(-6,-\tfrac{1}{12}\bigr).
Assíntotas: vertical em x=0, horizontal em y=0.
Concavidade para baixo: x<-9.
Concavidade para cima: -9<x<0 e x>0.
Ponto de inflexão: \bigl(-9,-\tfrac{2}{27}\bigr).

Exercícios relacionados