Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
incluindo pontos críticos, monotonia, extremos relativos, assíntotas, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivada, estudar seus sinais e também os limites em
e
.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada por produto ou quociente. É mais rápido usar
:
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não existe dentro do domínio. O numerador anula em
, isto é,
. A derivada não existe em
, mas esse ponto sai do domínio (é assíntota vertical).
Para estudar a monotonia fazemos o quadro de sinais de
Para estudar a monotonia fazemos o quadro de sinais de
em três intervalos:
Avaliação rápida mostra:
- Em
: e decrescente. - Em
: e crescente. - Em
: e decrescente.
Logo há um mínimo relativo em
, com
Passo 4
Assíntotas verticais vêm de pontos onde
não existe e o limite diverge. Aqui
é assíntota vertical. De fato
Assíntota horizontal busca
:
Portanto
é assíntota horizontal.
Passo 5
Para concavidade e pontos de inflexão, derivamos de novo:
Como
(exceto em
), o sinal de
vem de
.
- Se
, côncavo para baixo. - Se
ou , côncavo para cima.
Há ponto de inflexão em
, com
Passo 6
Esboço do gráfico:
- De
a : em , decresce e é côncavo para baixo até , depois côncavo para cima, chegando ao mínimo em . - De
a : cresce, côncavo para cima, e dispara para quando . - Em
: assíntota vertical. - De
a : em , decresce e é côncavo para cima, aproximando-se de quando .
Resposta
Pontos críticos:
(mínimo relativo) e
(assíntota vertical).
Regiões de crescimento: .
Regiões de decrescimento: e
.
Extremo relativo: mínimo em .
Assíntotas: vertical em , horizontal em
.
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: e
.
Ponto de inflexão: .
Regiões de crescimento:
Regiões de decrescimento:
Extremo relativo: mínimo em
Assíntotas: vertical em
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão: