Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(o)
(o)
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente ache:
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– extremos relativos;
– assíntotas;
– intervalos de concavidade (côncavo para cima e para baixo);
– pontos de inflexão;
– e, por fim, esboce o gráfico.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: primeira e segunda derivadas para estudar monotonia, extremos e concavidade.
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– extremos relativos;
– assíntotas;
– intervalos de concavidade (côncavo para cima e para baixo);
– pontos de inflexão;
– e, por fim, esboce o gráfico.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: primeira e segunda derivadas para estudar monotonia, extremos e concavidade.
Passo 2
Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
Logo, os pontos em que
são
Passo 3
Determinar monotonia e classificar extremos.
O sinal de :
– Para , temos
e
, logo
.
– Para , ainda
e
, logo
.
– Para , vale
, logo
.
Conclusão:
– Cresce em .
– Decresce em .
Em não muda o sinal de
, logo não há extremo.
Em muda de crescimento para decrescimento, caracterizando um máximo relativo em
.
O valor é
O sinal de
– Para
– Para
– Para
Conclusão:
– Cresce em
– Decresce em
Em
Em
O valor é
Passo 4
Verificar assíntotas.
Como é polinomial de grau
, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.
Como
Passo 5
Estudar concavidade via segunda derivada.
Resolvendo
dá
Análise de sinal:
– Para :
e
côncavo para baixo.
– Para :
e
côncavo para cima.
– Para :
e
côncavo para baixo.
Os pontos onde muda concavidade são pontos de inflexão:
– Para
– Para
– Para
Os pontos onde muda concavidade são pontos de inflexão:
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
– Zeros em e
(pois
).
– Cresce até , onde atinge
, depois decresce.
– Sem assíntotas, cai para quando
(grau par com coeficiente negativo no termo dominante).
– Inflecte em e
.
– Concavidade muda de baixo cima
baixo nos intervalos
,
,
.
– Zeros em
– Cresce até
– Sem assíntotas, cai para
– Inflecte em
– Concavidade muda de baixo
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Extremo relativo: máximo em com
.
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade:
– côncavo para baixo em ,
– côncavo para cima em .
Pontos de inflexão: e
.
Esboço: cresce de até o máximo em
, cruza o eixo em
, depois decresce até
, com as mudanças de concavidade em
e
.
Crescimento:
Decrescimento:
Extremo relativo: máximo em
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade:
– côncavo para baixo em
– côncavo para cima em
Pontos de inflexão:
Esboço: cresce de