Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(o) f(x)=4 x^{3}-3 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=4x^{3}-3x^{4}
que a gente ache:
– pontos críticos;
– intervalos de crescimento e decrescimento;
– extremos relativos;
– assíntotas;
– intervalos de concavidade (côncavo para cima e para baixo);
– pontos de inflexão;
– e, por fim, esboce o gráfico.
O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: primeira e segunda derivadas para estudar monotonia, extremos e concavidade.

Passo 2

Calcular a primeira derivada e achar pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}(4x^3-3x^4) =12x^2-12x^3 =12x^2(1-x).
Logo, os pontos em que f'(x)=0 são
x=0 \quad\text{(multiplicidade 2)}, \qquad x=1.

Passo 3

Determinar monotonia e classificar extremos.
O sinal de f'(x)=12x^2(1-x):
– Para x<0, temos x^2>0 e 1-x>0, logo f'>0.
– Para 0<x<1, ainda x^2>0 e 1-x>0, logo f'>0.
– Para x>1, vale 1-x<0, logo f'<0.
Conclusão:
– Cresce em (-\infty,1).
– Decresce em (1,\infty).
Em x=0 não muda o sinal de f', logo não há extremo.
Em x=1 muda de crescimento para decrescimento, caracterizando um máximo relativo em x=1.
O valor é
f(1)=4\cdot1^3-3\cdot1^4=1.

Passo 4

Verificar assíntotas.
Como f é polinomial de grau 4, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.

Passo 5

Estudar concavidade via segunda derivada.
f''(x)=\frac{d}{dx}(12x^2-12x^3) =24x-36x^2 =12x(2-3x).
Resolvendo f''(x)=0
x=0, \quad x=\frac{2}{3}.
Análise de sinal:
– Para x<0: x<0 e 2-3x>0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
– Para 0<x<2/3: x>0 e 2-3x>0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncavo para cima.
– Para x>2/3: x>0 e 2-3x<0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
Os pontos onde muda concavidade são pontos de inflexão:
(0,f(0))=(0,0), \quad \Bigl(\tfrac23,\;f(\tfrac23)\Bigr) =\Bigl(\tfrac23,\;\tfrac{16}{27}\Bigr).

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
– Zeros em x=0 e x=\tfrac{4}{3} (pois 4x^3-3x^4=x^3(4-3x)).
– Cresce até x=1, onde atinge f(1)=1, depois decresce.
– Sem assíntotas, cai para -\infty quando x\to\pm\infty (grau par com coeficiente negativo no termo dominante).
– Inflecte em x=0 e x=2/3.
– Concavidade muda de baixo \tocima \tobaixo nos intervalos (-\infty,0), (0,2/3), (2/3,\infty).

Resposta

Pontos críticos: x=0 e x=1.
Crescimento: (-\infty,1).
Decrescimento: (1,\infty).
Extremo relativo: máximo em x=1 com f(1)=1.
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade:
– côncavo para baixo em (-\infty,0)\cup(2/3,\infty),
– côncavo para cima em (0,2/3).
Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(\tfrac23,\tfrac{16}{27}\bigr).
Esboço: cresce de -\infty até o máximo em (1,1), cruza o eixo em x=4/3, depois decresce até -\infty, com as mudanças de concavidade em 0 e 2/3.

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