Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
§ f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-6 x

Passo 1

O enunciado pede, para
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-6x,
que encontremos
  • os pontos críticos;
  • as regiões de crescimento e decrescimento;
  • os extremos relativos;
  • as assíntotas;
  • as regiões de concavidade para cima e para baixo;
  • os pontos de inflexão;
    e que esbocemos o gráfico.
    Para isso usaremos derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexão) e o fato de ser polinômio (assíntotas).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}-6x\Bigr) =x^2 - x - 6 =(x-3)(x+2).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, isto é,
x=-2,\quad x=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade e identificar extremos:
  • Para x<-2, escolhemos x=-3: f'(-3)=9+3-6=6>0, logo f cresce em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<3, escolhemos x=0: f'(0)=-6<0, logo f decresce em (-2,3).
  • Para x>3, escolhemos x=4: f'(4)=16-4-6=6>0, logo f cresce em (3,\infty).
Assim, em x=-2 a função passa de crescente para decrescente (máximo relativo) e em x=3 passa de decrescente para crescente (mínimo relativo).
Calculamos os valores:
f(-2)=\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-2)^2}{2}-6(-2) =-\frac{8}{3}-2+12 =\frac{22}{3},
f(3)=\frac{27}{3}-\frac{9}{2}-18 =9-4,5-18 =-\tfrac{27}{2}.

Passo 4

Como f é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}(x^2 - x -6)=2x-1.
Resolvendo f''(x)=0 obtém-se
2x-1=0\implies x=\tfrac12.
  • Para x<\tfrac12, 2x-1<0 \to concavidade para baixo.
  • Para x>\tfrac12, 2x-1>0 \to concavidade para cima.
O ponto de inflexão é \bigl(\tfrac12,f(\tfrac12)\bigr), com
f\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{(1/2)^3}{3}-\frac{(1/2)^2}{2}-6\cdot\tfrac12 =\frac{1}{24}-\frac{1}{8}-3 =-\frac{37}{12}.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Quando x\to-\infty, f(x)\to-\infty.
  • Cresce até o máximo local em \bigl(-2,\tfrac{22}{3}\bigr).
  • Desce passando por (0,0) até o mínimo local em \bigl(3,-\tfrac{27}{2}\bigr).
  • Aí cresce indefinidamente, com inflexão em \bigl(\tfrac12,-\tfrac{37}{12}\bigr).
  • Concava para baixo até x=\tfrac12 e para cima depois.

Resposta

Pontos críticos: x=-2 e x=3.
Regiões de crescimento: (-\infty,-2) e (3,\infty).
Região de decrescimento: (-2,3).
Extremos relativos: máximo em \bigl(-2,\tfrac{22}{3}\bigr), mínimo em \bigl(3,-\tfrac{27}{2}\bigr).
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo em (-\infty,\tfrac12), para cima em (\tfrac12,\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(\tfrac12,-\tfrac{37}{12}\bigr).
Esboço: conforme descrito no Passo 6.

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