Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
§
§
Passo 1
O enunciado pede, para
que encontremos
- os pontos críticos;
- as regiões de crescimento e decrescimento;
- os extremos relativos;
- as assíntotas;
- as regiões de concavidade para cima e para baixo;
- os pontos de inflexão;
e que esbocemos o gráfico.
Para isso usaremos derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e inflexão) e o fato de ser polinômio (assíntotas).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira e achamos os pontos críticos.
Os pontos críticos são as raízes de
, isto é,
Passo 3
Analisamos o sinal de
para determinar monotonicidade e identificar extremos:
- Para
, escolhemos : , logo cresce em . - Para
, escolhemos : , logo decresce em . - Para
, escolhemos : , logo cresce em .
Assim, em
a função passa de crescente para decrescente (máximo relativo) e em
passa de decrescente para crescente (mínimo relativo).
Calculamos os valores:
Calculamos os valores:
Passo 4
Como
é um polinômio de grau
, não há assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
Passo 5
Calculamos a derivada segunda para concavidade e ponto de inflexão:
Resolvendo
obtém-se
- Para
, concavidade para baixo. - Para
, concavidade para cima.
O ponto de inflexão é
, com
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Quando
, . - Cresce até o máximo local em
. - Desce passando por
até o mínimo local em . - Aí cresce indefinidamente, com inflexão em
. - Concava para baixo até
e para cima depois.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Regiões de crescimento: e
.
Região de decrescimento: .
Extremos relativos: máximo em , mínimo em
.
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo em , para cima em
.
Ponto de inflexão: .
Esboço: conforme descrito no Passo .
Regiões de crescimento:
Região de decrescimento:
Extremos relativos: máximo em
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão:
Esboço: conforme descrito no Passo