Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(q)
(q)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
e queremos determinar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões de concavidade e o ponto de inflexão, e depois esboçar o gráfico. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos e o comportamento monotônico:
Os pontos críticos surgem quando
, ou seja, em
e
.
Passo 3
Estudamos o sinal de
:
- Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo .
Isso implica que
cresce em
, decresce em
e cresce novamente em
. Portanto
é um máximo relativo e
é um mínimo relativo, com
Passo 4
Como
é um polinômio de grau
, não há assíntotas verticais nem horizontais. Também não há assíntota oblíqua linear, pois o comportamento para
é dominado por
.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade e inflexão:
O ponto em que
é
.
- Para
, , logo é côncava para baixo em . - Para
, , logo é côncava para cima em .
O ponto de inflexão é.
Passo 6
Esboço do gráfico (forma qualitativa):
. Para
,
com concavidade para baixo.
. Aumenta até o máximo relativo em
.
. Desce até o mínimo relativo em
.
. Em
muda concavidade (ponto de inflexão em
).
. Depois de
cresce para
, agora com concavidade para cima.
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Máximo relativo: .
Mínimo relativo: .
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: .
Ponto de inflexão: .
Esboço: cúbica passando pelos pontos-chave descritos, com forma típica
Crescimento:
Decrescimento:
Máximo relativo:
Mínimo relativo:
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão:
Esboço: cúbica passando pelos pontos-chave descritos, com forma típica
M''} invertido até \(x=0\), depois \text{
W''.