Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(q) f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+2
e queremos determinar os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões de concavidade e o ponto de inflexão, e depois esboçar o gráfico. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos e o comportamento monotônico:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+2\bigr)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
Os pontos críticos surgem quando f'(x)=0, ou seja, em x=0 e x=2.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x)=3x(x-2):
  • Para x<0, temos x<0 e (x-2)<0, logo f'(x)>0.
  • Para 0<x<2, temos x>0 e (x-2)<0, logo f'(x)<0.
  • Para x>2, temos x>0 e (x-2)>0, logo f'(x)>0.
Isso implica que f cresce em (-\infty,0), decresce em (0,2) e cresce novamente em (2,\infty). Portanto x=0 é um máximo relativo e x=2 é um mínimo relativo, com
f(0)=2,\qquad f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+2=-2.

Passo 4

Como f(x) é um polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais. Também não há assíntota oblíqua linear, pois o comportamento para x\to\pm\infty é dominado por x^{3}.

Passo 5

Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6=6(x-1).
O ponto em que f''(x)=0 é x=1.
  • Para x<1, f''(x)<0, logo f é côncava para baixo em (-\infty,1).
  • Para x>1, f''(x)>0, logo f é côncava para cima em (1,\infty).
    O ponto de inflexão é \bigl(1,f(1)\bigr)=(1,0).

Passo 6

Esboço do gráfico (forma qualitativa):
1. Para x\to -\infty, f(x)\to -\infty com concavidade para baixo.
2. Aumenta até o máximo relativo em (0,2).
3. Desce até o mínimo relativo em (2,-2).
4. Em x=1 muda concavidade (ponto de inflexão em (1,0)).
5. Depois de x=2 cresce para +\infty, agora com concavidade para cima.

Resposta

Pontos críticos: x=0 e x=2.
Crescimento: (- \infty,0)\cup(2,\infty).
Decrescimento: (0,2).
Máximo relativo: \bigl(0,2\bigr).
Mínimo relativo: \bigl(2,-2\bigr).
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para baixo: (- \infty,1).
Concavidade para cima: (1,\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(1,0\bigr).
Esboço: cúbica passando pelos pontos-chave descritos, com forma típica M''} invertido até \(x=0\), depois \text{W''.

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