Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
® f(x)=3 x^{1 / 3}-x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3\,x^{1/3}-x
e pede: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrecimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e análise de sinais.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e monotonicidade.
f'(x)=3\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}-1=x^{-2/3}-1=\frac{1}{x^{2/3}}-1.
Resolvendo f'(x)=0:
\frac{1}{x^{2/3}}=1\implies x^{2/3}=1\implies x=\pm1.
Além disso f'(x) não existe em x=0. Logo pontos críticos em x=-1,0,1.

Passo 3

Determinamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
– Para \lvert x\rvert<1, x^{2/3}<1 \tfrac1{x^{2/3}}>1, logo f'(x)>0.
– Para \lvert x\rvert>1, x^{2/3}>1 \tfrac1{x^{2/3}}<1, logo f'(x)<0.
Assim
f cresce em (-1,0)\cup(0,1).
f decresce em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Analisando mudanças de sinal de f' nos críticos:
– Em x=-1: f' vai de negativo (antes) a positivo (depois) \Rightarrow mínimo relativo.
– Em x=1: f' vai de positivo a negativo \Rightarrow máximo relativo.
– Em x=0: f' muda de >0 para >0 (há descontinuidade, mas sem inversão de sinal) \Rightarrow sem extremo.
Os valores:
f(-1)=3(-1)^{1/3}-(-1)=-3+1=-2, \quad f(1)=3\cdot1-1=2, \quad f(0)=0.

Passo 5

Procuramos assíntotas. Para x\to\pm\infty,
\frac{f(x)}{x}=\frac{3x^{1/3}-x}{x}=3x^{-2/3}-1\to -1,
mas
f(x)-(-1)x=3x^{1/3}\to\pm\infty,
portanto não há assíntotas horizontais nem oblíquas de inclinação e intercepto finitos.

Passo 6

Calculamos a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2/3}-1\bigr)=-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}=-\frac{2}{3\,x^{5/3}}.
– Se x>0, x^{5/3}>0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow côncavo para baixo.
– Se x<0, x^{5/3}<0 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow côncavo para cima.
Há inversão de sinal em x=0, e f é contínua em 0, logo ponto de inflexão em (0,0).

Passo 7

Resumo final da análise:
– Pontos críticos: x=-1,0,1.
– Cresce em (-1,0)\cup(0,1).
– Decresce em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
– Mínimo relativo em (-1,-2).
– Máximo relativo em (1,2).
– Sem assíntotas.
– Côncavo para cima em (-\infty,0).
– Côncavo para baixo em (0,\infty).
– Inflexão em (0,0).

Resposta

Pontos críticos: -1,0,1.
Crescimento: (-1,0)\cup(0,1).
Decr.: (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Mín. rel.: \bigl(-1,-2\bigr).
Máx. rel.: \bigl(1,2\bigr).
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para cima: (-\infty,0).
Concavidade para baixo: (0,\infty).
Inflexão: (0,0).
Esboço:
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,>=latex] \draw[->](-3.5,0)--(3.5,0) node[right]{\(x\)}; \draw[->](0,-3.5)--(0,3.5) node[above]{\(y\)}; \foreach \x in {-2,-1,1,2} \draw(\x,0.1)--(\x,-0.1) node[below]{\(\x\)}; \foreach \y in {-2,2} \draw(0.1,\y)--(-0.1,\y) node[left]{\(\y\)}; \draw[domain=-3:0,smooth,variable=\x,blue] plot({\x},{3*sign(\x)*abs(\x)^(1/3)-\x}); \draw[domain=0:3,smooth,variable=\x,blue] plot({\x},{3*sign(\x)*abs(\x)^(1/3)-\x}); \fill(-1,-2) circle(1.5pt) node[below left]{mín.}; \fill(1,2) circle(1.5pt) node[above right]{máx.}; \fill(0,0) circle(1.5pt) node[below right]{inflexão}; \end{tikzpicture}

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