Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
®
®
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrecimento, extremos relativos, assíntotas, concavidade e pontos de inflexão, e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda e análise de sinais.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e monotonicidade.
Resolvendo
:
Além disso
não existe em
. Logo pontos críticos em
.
Passo 3
Determinamos o sinal de
em cada intervalo:
– Para ,
dá
, logo
.
– Para ,
dá
, logo
.
Assim
– cresce em
.
– decresce em
.
– Para
– Para
Assim
–
–
Passo 4
Analisando mudanças de sinal de
nos críticos:
– Em :
vai de negativo (antes) a positivo (depois)
mínimo relativo.
– Em :
vai de positivo a negativo
máximo relativo.
– Em :
muda de
para
(há descontinuidade, mas sem inversão de sinal)
sem extremo.
Os valores:
– Em
– Em
– Em
Os valores:
Passo 5
Procuramos assíntotas. Para
,
mas
portanto não há assíntotas horizontais nem oblíquas de inclinação e intercepto finitos.
Passo 6
Calculamos a derivada segunda para concavidade:
– Se
,
côncavo para baixo.
– Se ,
côncavo para cima.
Há inversão de sinal em , e
é contínua em
, logo ponto de inflexão em
.
– Se
Há inversão de sinal em
Passo 7
Resumo final da análise:
– Pontos críticos: .
– Cresce em .
– Decresce em .
– Mínimo relativo em .
– Máximo relativo em .
– Sem assíntotas.
– Côncavo para cima em .
– Côncavo para baixo em .
– Inflexão em .
– Pontos críticos:
– Cresce em
– Decresce em
– Mínimo relativo em
– Máximo relativo em
– Sem assíntotas.
– Côncavo para cima em
– Côncavo para baixo em
– Inflexão em
Resposta
Pontos críticos:
.
Crescimento: .
Decr.: .
Mín. rel.: .
Máx. rel.: .
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Inflexão: .
Crescimento:
Decr.:
Mín. rel.:
Máx. rel.:
Assíntotas: nenhuma.
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Inflexão:
Esboço: