Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(u) y=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da curva da função
y = \frac{x}{x+1}
Isso inclui encontrar domínio, pontos críticos, monotonia (regiões de crescimento e decrescimento), extremos relativos, assíntotas, concavidade (para cima e para baixo) e pontos de inflexão. Para isso, precisaremos do quociente polinomial e das derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Determinar domínio e assíntotas.
Como o denominador x+1 não pode ser zero, o domínio é
(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,\infty).
Para achar a assíntota horizontal, fazemos divisão polinomial:
\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}.
Dessa forma vemos que, quando x\to\pm\infty,
y \to 1,
logo há assíntota horizontal y=1. Como x=-1 fica fora do domínio e o valor de \frac{x}{x+1} cresce em módulo sem limite, existe assíntota vertical em
x=-1.

Passo 3

Calcular a derivada primeira.
y' = \frac{(x+1)\cdot 1 - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 4

Analisar monotonia e pontos críticos.
Note que \frac{1}{(x+1)^2}>0 para todo x\neq -1. Portanto:
  • y' não se anula em nenhum ponto do domínio, logo não há pontos críticos onde y'=0.
  • Em cada intervalo (-\infty,-1) e (-1,\infty), y'>0, ou seja, y é estritamente crescente em todo o domínio.
  • Como não há mudança de sinal de y', não existem extremos relativos.

Passo 5

Calcular a derivada segunda.
y'' = \frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-2}\bigr) = -2\,(x+1)^{-3} = -\frac{2}{(x+1)^3}.

Passo 6

Determinar concavidade e pontos de inflexão.
O sinal de y'' depende de (x+1)^3:
  • Se x+1<0 (isto é, x<-1), então (x+1)^3<0 e y''>0. Logo o gráfico é côncavo para cima em (-\infty,-1).
  • Se x+1>0 (isto é, x>-1), então (x+1)^3>0 e y''<0. Logo o gráfico é côncavo para baixo em (-1,\infty).
    Como y'' nunca se anula em pontos do domínio e muda de sinal apenas em x=-1 (fora do domínio), não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 7

Esboço do gráfico.
  • Dois ramos hiperbólicos separados pela reta vertical x=-1.
  • Para x\to -\infty, y\to1^+; à medida que x cresce em (-\infty,-1), y aumenta de 1 até +\infty.
  • Para x\to -1^+, y\to -\infty; em (-1,\infty), y cresce de -\infty até 1^- quando x\to +\infty.
  • Concavidade para cima à esquerda de x=-1 e para baixo à direita de x=-1.
  • Assíntotas: vertical x=-1, horizontal y=1.

Resposta

Pontos críticos: não existem no domínio.
Regiões de crescimento: (-\infty,-1) e (-1,\infty).
Regiões de decrescimento: nenhuma.
Extremos relativos: não há.
Assíntotas:
\;x=-1 (vertical),
\;y=1 (horizontal).
Concavidade para cima: em (-\infty,-1).
Concavidade para baixo: em (-1,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: dois ramos hiperbólicos crescentes, aproximando-se de y=1 horizontalmente e de x=-1 verticalmente.

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