Para cada função abaixo, encontre os pontos críticos, as regiões de crescimento e decrescimento, os extremos relativos, as assíntotas, as regiões onde o gráfico é côncavo para baixo e onde é côncavo para cima e os pontos de inflexão. Esboce os gráficos:
(u)
(u)
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da curva da função
Isso inclui encontrar domínio, pontos críticos, monotonia (regiões de crescimento e decrescimento), extremos relativos, assíntotas, concavidade (para cima e para baixo) e pontos de inflexão. Para isso, precisaremos do quociente polinomial e das derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Determinar domínio e assíntotas.
Como o denominador não pode ser zero, o domínio é
Como o denominador
Para achar a assíntota horizontal, fazemos divisão polinomial:
Dessa forma vemos que, quando
,
logo há assíntota horizontal
. Como
fica fora do domínio e o valor de
cresce em módulo sem limite, existe assíntota vertical em
Passo 3
Calcular a derivada primeira.
Passo 4
Analisar monotonia e pontos críticos.
Note que para todo
. Portanto:
Note que
-
não se anula em nenhum ponto do domínio, logo não há pontos críticos onde . - Em cada intervalo
e , , ou seja, é estritamente crescente em todo o domínio. - Como não há mudança de sinal de
, não existem extremos relativos.
Passo 5
Calcular a derivada segunda.
Passo 6
Determinar concavidade e pontos de inflexão.
O sinal de depende de
:
O sinal de
- Se
(isto é, ), então e . Logo o gráfico é côncavo para cima em . - Se
(isto é, ), então e . Logo o gráfico é côncavo para baixo em .
Comonunca se anula em pontos do domínio e muda de sinal apenas em (fora do domínio), não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 7
Esboço do gráfico.
- Dois ramos hiperbólicos separados pela reta vertical
. - Para
, ; à medida que cresce em , aumenta de 1 até . - Para
, ; em , cresce de até quando . - Concavidade para cima à esquerda de
e para baixo à direita de . - Assíntotas: vertical
, horizontal .
Resposta
Pontos críticos: não existem no domínio.
Regiões de crescimento: e
.
Regiões de decrescimento: nenhuma.
Extremos relativos: não há.
Assíntotas:
(vertical),
(horizontal).
Concavidade para cima: em .
Concavidade para baixo: em .
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: dois ramos hiperbólicos crescentes, aproximando-se de horizontalmente e de
verticalmente.
Regiões de crescimento:
Regiões de decrescimento: nenhuma.
Extremos relativos: não há.
Assíntotas:
Concavidade para cima: em
Concavidade para baixo: em
Pontos de inflexão: nenhum.
Esboço: dois ramos hiperbólicos crescentes, aproximando-se de