Questão 3.(2.0) Calcule a derivada direcional partial fpartial v(p) onde
f(x, y)=e^x^2 y-y^2 x, p=(1,0) e v=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional partial fpartial v(p) da função f(x,y)=e^x^2y - y^2x no ponto p=(1,0) na direção do vetor v=(1,1). Para isso vamos precisar do gradiente de f e de normalizar o vetor v.

Passo 2

Calcular o gradiente nabla f(x,y). Note que f(x,y)=e^g(x,y) com g(x,y)=x^2y - y^2x, então vale nabla f=e^g(x,y)nabla g. As derivadas parciais de g são tfracpartial gpartial x=2xy - y^2 e tfracpartial gpartial y=x^2 - 2xy, logo
nabla f(x,y)=e^x^2y - y^2x(,2xy - y^2,;x^2 - 2xy).

Passo 3

Avaliar o gradiente em p=(1,0). Substituindo x=1 e y=0 temos g(1,0)=0 e e^g(1,0)=1. Além disso nabla g(1,0)=(0,1), portanto
nabla f(1,0)=(0,1).

Passo 4

Normalizar v=(1,1). O comprimento é |v|=raiz1^2+1^2=raiz2, logo o vetor unitário é u=1raiz2(1,1). A derivada direcional é o produto interno
nabla f(1,0)cdot u=(0,1)cdot1raiz2(1,1)=1raiz2.

Resposta

tfrac1raiz2

Exercícios relacionados