Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y)= x^2-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável. Vamos usar conceitos de diferenciabilidade em várias variáveis, em particular que todo quociente de funções polinomiais sem zeros no denominador é C^∞ e portanto diferenciável, e que no ponto (0,0) precisamos testar continuidade e existência do diferencial.

Passo 2

Para qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é estritamente positivo. Logo f é quociente de funções polinomiais com denominação nunca nula nessa região. Isso implica que f é de classe C^infty em R^2setminus(0,0), e portanto diferenciável em todos esses pontos.

Passo 3

No ponto (0,0), primeiro verificamos continuidade. Se a função fosse diferenciável ali, precisaria ser contínua. Vamos ver o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) por trajetórias retas y=mx:
f(x,mx)=x^2-m^2x^2x^2+m^2x^2=1-m^21+m^2
Esse valor depende de m, ou seja, não há limite único quando (x,y)to(0,0). Portanto f não é contínua em (0,0), logo não pode ser diferenciável aí.

Passo 4

Juntando tudo, concluímos que f é diferenciável em todos os pontos (x,y) com (x,y)neq(0,0), e não é diferenciável em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de diferenciabilidade é R^2setminus(0,0).

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