Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para achar onde a função
é diferenciável. Vamos usar conceitos de diferenciabilidade em várias variáveis, em particular que todo quociente de funções polinomiais sem zeros no denominador é C^∞ e portanto diferenciável, e que no ponto (0,0) precisamos testar continuidade e existência do diferencial.
Passo 2
Para qualquer ponto
, o denominador
é estritamente positivo. Logo
é quociente de funções polinomiais com denominação nunca nula nessa região. Isso implica que
é de classe
em
, e portanto diferenciável em todos esses pontos.
Passo 3
No ponto
, primeiro verificamos continuidade. Se a função fosse diferenciável ali, precisaria ser contínua. Vamos ver o limite de
quando
por trajetórias retas
:
Esse valor depende de
, ou seja, não há limite único quando
. Portanto
não é contínua em
, logo não pode ser diferenciável aí.
Passo 4
Juntando tudo, concluímos que
é diferenciável em todos os pontos
com
, e não é diferenciável em
.
Resposta
O conjunto dos pontos de diferenciabilidade é
.