Para cada função f abaixo, use a Regra da Cadeia para calcular partial fpartial s e partial fpartial t.
f(x, y, z)=x y+x z+y z, em que x(s, t)=s, y(s, t)=s cos (t) e z(s, t)=s sen(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial fpartial s e partial fpartial t da função composta
f(x,y,z)=xy+xz+yz,
onde
x(s,t)=s, y(s,t)=scos(t), z(s,t)=ssin(t)
O conteúdo é Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x,y,z:
fx=partial fpartial x=y+z, fy=partial fpartial y=x+z, fz=partial fpartial z=x+y

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de x,y,z em relação a s e a t:
xs=1, ys=cos(t), zs=sin(t),
xt=0, yt=-ssin(t), zt=scos(t)

Passo 4

Usamos a Regra da Cadeia para partial fpartial s:
partial fpartial s =fx,xs+fy,ys+fz,zs
Substituindo:
partial fpartial s =(y+z)cdot1+(x+z)cos(t)+(x+y)sin(t)

Passo 5

Fazendo x=s, y=scos(t), z=ssin(t) e simplificando,
y+z=sl(cos t+sin tr), x+z=sl(1+sin tr), x+y=sl(1+cos tr),
então
partial fpartial s = s(cos t+sin t) + s(1+sin t)cos t + s(1+cos t)sin t =2sl(cos t+sin t+sin tcos tr)

Passo 6

Usamos a Regra da Cadeia para partial fpartial t:
partial fpartial t =fx,xt+fy,yt+fz,zt =(y+z)cdot0+(x+z)(-ssin t)+(x+y)(scos t)

Passo 7

Substituindo novamente x=s, y=scos t, z=ssin t e simplificando,
x+z=s(1+sin t), x+y=s(1+cos t),
partial fpartial t =-ssin tcdot s(1+sin t) + scos tcdot s(1+cos t) =s^2l(-sin t-sin^2 t+cos t+cos^2 tr) =s^2l(cos2t+cos t-sin tr)

Resposta

partial fpartial s =2sl(cos t+sin t+sin tcos tr),
partial fpartial t =s^2l(cos2t+cos t-sin tr)

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