Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
onde
é a parte fracionária de
. O conteúdo aqui envolve entendimento de parte fracionária e do comportamento de
quando
toma valores inteiros. Vamos ver se essa sequência tende a algum valor fixo ou não.
Passo 2
Lembrando a definição de parte fracionária, para todo real
temos
onde
é a parte inteira de
. No nosso caso, como
, existem dois casos:
- Se
, então e - Se
, então e
Portanto
Passo 3
Para estudar
, notamos que a sequência de argumentos
é densa em
, pois
é irracional múltiplo de
. Desse modo, os valores
são densos em
. Em outras palavras, para qualquer
e qualquer
existe
tal que
.
Passo 4
Aplicando a parte fracionária aos valores densos em
, vemos que
- Quando
se aproxima de um , então . - Quando
se aproxima de um , então se aproxima de .
Logo os valores desão densos em .
Uma sequência que atinge pontos arbitrariamente perto de qualquer valor em
não pode ter um único limite. Ou seja, ela não tende a nenhum número fixo.
Resposta
A sequência diverge (não converge).