Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=sen(n)

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = sin(n),
onde x é a parte fracionária de x. O conteúdo aqui envolve entendimento de parte fracionária e do comportamento de sin(n) quando n toma valores inteiros. Vamos ver se essa sequência tende a algum valor fixo ou não.

Passo 2

Lembrando a definição de parte fracionária, para todo real x temos
x = x - lfloor xrfloor,
onde lfloor xrfloor é a parte inteira de x. No nosso caso, como -1 <= sin(n)<= 1, existem dois casos:
  1. Se sin(n)>= 0, então lfloor sin(n)rfloor = 0 e sin(n) = sin(n)
  2. Se sin(n)<0, então lfloor sin(n)rfloor = -1 e sin(n) = sin(n) - (-1) = sin(n) + 1
Portanto
sin(n) = sin(n), & se sin(n)>=0, sin(n)+1, & se sin(n)<0

Passo 3

Para estudar sin(n), notamos que a sequência de argumentos npmod2pi é densa em [0,2pi], pois 2pi é irracional múltiplo de 1. Desse modo, os valores sin(n) são densos em [-1,1]. Em outras palavras, para qualquer yin[-1,1] e qualquer varepsilon>0 existe n tal que |sin(n)-y|<varepsilon.

Passo 4

Aplicando a parte fracionária aos valores densos em [-1,1], vemos que
  • Quando sin(n) se aproxima de um yin[0,1], então sin(n)approx y.
  • Quando sin(n) se aproxima de um yin[-1,0), então sin(n) = sin(n)+1 se aproxima de y+1in[0,1).
    Logo os valores de sin(n) são densos em [0,1].
Uma sequência que atinge pontos arbitrariamente perto de qualquer valor em [0,1] não pode ter um único limite. Ou seja, ela não tende a nenhum número fixo.

Resposta

A sequência diverge (não converge).

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