Calcule a integral definida:
integral0^pi sen 2 x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcular a integral de sin(2x) cos x de 0 até pi. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto de seno e cosseno usando uma identidade trigonométrica. Uma identidade útil é:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Nesse caso, temos A = 2x e B = x. Então:
sin(2x) cos x = 12 [sin(2x + x) + sin(2x - x)] = 12 [sin(3x) + sin(x)]

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, podemos reescrever a integral original:
integral0^pi sin(2x) cos x , dx = 12 integral0^pi [sin(3x) + sin(x)] , dx
Isso nos permite integrar termo a termo.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 ( integral0^pi sin(3x) , dx + integral0^pi sin(x) , dx )
Sabemos que a integral de sin(kx) em relação a x é -1k cos(kx).

Passo 5

Aplicando a regra de integração:
integral sin(3x) , dx = -13 cos(3x) + C
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Portanto:
12 ( -13 cos(3x) - cos(x) ) g|0^pi

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração 0 e pi:
12 ( -13 [cos(3pi) - cos(0)] - [cos(pi) - cos(0)] )
Sabemos que:
  • cos(0) = 1
  • cos(pi) = -1
  • cos(3pi) = cos(pi) = -1
Substituindo esses valores:
12 ( -13 [(-1) - 1] - [(-1) - 1] ) = 12 ( -13 (-2) - (-2) )

Passo 7

Simplificando as expressões:
12 ( 23 + 2 ) = 12 ( 23 + 63 ) = 12 ( 83 ) = 43

Resposta

O valor da integral definida é 43.

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