Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
, em que
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos
, onde
e
. A tarefa é calcular as derivadas parciais
,
e
quando
,
e
.
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que ajuda a encontrar derivadas quando uma variável depende de outras variáveis intermediárias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais diretas que precisamos.
Vamos derivar
em relação a
e
:
Essas derivadas nos dizem como
muda quando
ou
mudam diretamente.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação às variáveis
,
e
.
Para
:
Para
:
Como
depende apenas de
e não de
,
ou
, as derivadas parciais são:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial que queremos encontrar.
A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
onde
pode ser
,
ou
.
Como vimos no Passo 3,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 5
Vamos agora calcular cada derivada parcial usando as fórmulas que encontramos.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, vamos substituir os valores
,
,
nas expressões acima.
Primeiro, calculamos
e
:
Substituindo
,
,
,
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são: