Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
z=x^2+x y^3, em que x=u v^2+w^3 e y=prsen(theta);
Calcu<= partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial w quando u=2, v=1, w=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O enunciado é o seguinte:
Temos z = x^2 + x y^3 , onde x = u v^2 + w^3 e y = sin(theta) . A tarefa é calcular as derivadas parciais partial zpartial u , partial zpartial v e partial zpartial w quando u = 2 , v = 1 e w = 0 .
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que ajuda a encontrar derivadas quando uma variável depende de outras variáveis intermediárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais diretas que precisamos.
Vamos derivar z em relação a x e y :
partial zpartial x = 2x + y^3
partial zpartial y = 3x y^2
Essas derivadas nos dizem como z muda quando x ou y mudam diretamente.

Passo 3

Agora, vamos derivar x e y em relação às variáveis u , v e w .
Para x = u v^2 + w^3 :
partial xpartial u = v^2
partial xpartial v = 2u v
partial xpartial w = 3w^2
Para y = sin(theta) :
Como y depende apenas de theta e não de u , v ou w , as derivadas parciais são:
partial ypartial u = 0
partial ypartial v = 0
partial ypartial w = 0

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial que queremos encontrar.
A Regra da Cadeia para derivadas parciais nos diz que:
partial zpartial q = partial zpartial x cdot partial xpartial q + partial zpartial y cdot partial ypartial q
onde q pode ser u , v ou w .
Como vimos no Passo 3, partial ypartial q = 0 , então a fórmula simplifica para:
partial zpartial q = partial zpartial x cdot partial xpartial q

Passo 5

Vamos agora calcular cada derivada parcial usando as fórmulas que encontramos.
Para partial zpartial u :
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u = (2x + y^3) cdot v^2
Para partial zpartial v :
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v = (2x + y^3) cdot 2u v
Para partial zpartial w :
partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2

Passo 6

Por fim, vamos substituir os valores u = 2 , v = 1 , w = 0 nas expressões acima.
Primeiro, calculamos x e y :
x = u v^2 + w^3 = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2
y = sin(theta) (como theta não foi dado, mantemos a expressão) ãã
Substituindo x = 2 , v = 1 , u = 2 , w = 0 :
Para partial zpartial u :
partial zpartial u = (2 cdot 2 + y^3) cdot 1^2 = (4 + y^3) cdot 1 = 4 + y^3
Para partial zpartial v :
partial zpartial v = (2 cdot 2 + y^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 = (4 + y^3) cdot 4 = 16 + 4y^3
Para partial zpartial w :
partial zpartial w = (2 cdot 2 + y^3) cdot 3 cdot 0^2 = (4 + y^3) cdot 0 = 0

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 4 + y^3
partial zpartial v = 16 + 4y^3
partial zpartial w = 0

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