Para cada polinômio, calcule a Cota de Cauchy e determine um intervalo [-R, R] que contém todas as raízes reais. Em seguida, use uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 contendo cada raiz. p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o polinômio p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6:
Calcular a Cota de Cauchy e determinar um intervalo [-R,R] que contenha todas as raízes reais.
Usar uma tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1 que contenham cada raiz real.
Informações fornecidas:
O polinômio é p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
Não há outras restrições; deve-se encontrar um R pela Cota de Cauchy e depois localizar intervalos de comprimento 1 contendo as raízes.
Passo 2
Explicando a Cota de Cauchy (fórmula que vamos usar) de forma didática:
Seja um polinômio
p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0
com a_n\neq0. Uma versão simples da Cota de Cauchy diz que toda raiz (real ou complexa) z satisfaz
Interpretação: pega-se o maior valor absoluto entre os coeficientes não líderes, divide-se pelo coeficiente líder (no caso monico /1 não altera), soma-se 1; isso garante que nenhuma raiz está fora do disco de raio R centrado na origem.
No nosso polinômio p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6 temos a_3=1 (coeficiente líder), a_2=-6, a_1=11, a_0=-6. Como o polinômio é monico (a_3=1), a fórmula simplifica para
R = 1 + \max\{|a_2|,|a_1|,|a_0|\}.
Calculemos:
\max\{|a_2|,|a_1|,|a_0|\} = \max\{6,11,6\} = 11.
Logo
R = 1 + 11 = 12.
Conclusão desta etapa: pela Cota de Cauchy, todas as raízes (reais e complexas) satisfazem |x|\le 12, então todas as raízes reais estão contidas no intervalo [-12,12].
Passo 3
Agora a parte da tabela de sinais para localizar sub-intervalos de comprimento 1.
Primeiro, uma ideia prática que sempre uso: pelo Teorema do Resto e pelo Teorema das Raízes Racionais, se o termo independente é -6 então possíveis raízes racionais (se existirem inteiras) são divisores de 6, ou seja \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Isso sugere testar inteiros próximos para ver sinais e detectar raízes exatas ou mudanças de sinal entre inteiros consecutivos.
Como polinômio é contínuo, se p(a) e p(b) têm sinais opostos então existe pelo menos uma raiz em (a,b) (Teorema do Valor Intermediário). Se p(k)=0 para algum inteiro k, então k é uma raiz exata.
Vamos calcular p(x) em alguns inteiros simples para montar a tabela de sinais. Fazer as contas passo a passo:
Interpretando a tabela de sinais que obtivemos nos pontos inteiros:
p(0)=-6<0.
p(1)=0 → raiz em x=1.
p(2)=0 → raiz em x=2.
p(3)=0 → raiz em x=3.
p(4)=6>0.
Como p(1)=p(2)=p(3)=0, já localizamos as raízes exatamente (são inteiras). Para responder estritamente ao pedido “localizar sub-intervalos de comprimento 1 contendo cada raiz”, podemos escolher intervalos de comprimento 1 que contenham essas raízes (incluindo a possibilidade da raiz estar numa extremidade do intervalo). Por exemplo, os intervalos
[0,1],\quad [1,2],\quad [2,3]
são todos de comprimento 1 e contêm, respectivamente, as raízes 1, 2 e 3 (em cada caso a raiz está em uma das extremidades). Se preferir intervalos com a raiz interior, poderia usar
também de comprimento 1, cada um contendo uma das raízes no seu interior. A tabela de sinais dos inteiros já foi suficiente para identificar as raízes exatas.
Para reforçar, podemos fatorar o polinômio (opcional, mas útil para verificação): como 1 é raiz, fazemos divisão por (x-1) e obtemos
p(x)=(x-1)(x^{2}-5x+6).
E x^{2}-5x+6 fatora como (x-2)(x-3), portanto
p(x)=(x-1)(x-2)(x-3),
confirmando as raízes x=1,2,3 (todas simples, multiplicidade 1).
Resposta
A Cota de Cauchy é R=12, logo todas as raízes estão em [-12,12].
Sub-intervalos de comprimento 1 que contêm as raízes: [0,1], [1,2], [2,3].