Para cada função f(x)=3+5 x-x^2, g(x)=3 x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3,
Calcular as assintontas horizontais e verticais, caso existir.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais para as funções
f(x)=3+5x - x^2, g(x)=3x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3
O conteúdo é limites no infinito e perto de pontos singulares. Para assíntota vertical, buscamos pontos onde o denominador zera e o limite tende a pminfty. Para assíntota horizontal, calculamos limxtopminftyf(x).

Passo 2

Regra geral para funções polinomiais e racionais:
  • Se f é polinomial (sem denominador), o domínio é R e não há assíntotas verticais; além disso, se deg f>0, então limxtopminftyf(x)=pminfty e não há assíntota horizontal.
  • Se f(x)=p(x)q(x), zeros de q(x) que levam a limite infinito são assíntotas verticais. Para horizontais, comparamos deg p e deg q:
    • deg p<deg q :Rightarrow:limxtopminftyf(x)=0 :Rightarrow:y=0.
    • deg p=deg q :Rightarrow:limxtopminftyf(x)= razão dos coeficientes líderes.
    • deg p>deg q :Rightarrow:limxtopminftyf(x)=pminfty e não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua, mas não é pedida).

Passo 3

Para f(x)=3+5x-x^2:
O domínio é R, não há denominador, logo sem assíntotas verticais. Como é polinomial de grau 2,
limxtopminftyf(x)= -infty ou +infty,
não existe limite finito em pminfty. Portanto, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Para g(x)=3x^2x-2:
O domínio é Rsetminus2. Em x=2 o denominador zera; calculemos
limxto2^+g(x)=3cdot 2^20^+=+infty, limxto2^-g(x)=3cdot 2^20^-=-infty,
logo x=2 é assíntota vertical. Como deg numerador (2) > deg denominador (1),
limxtopminftyg(x)=pminfty,
não há assíntota horizontal.

Passo 5

Para h(x)=x^2x^2+3:
O denominador x^2+3 nunca zera, domínio R e sem assíntotas verticais. Como deg numerador =deg denominador =2,
limxtopminftyh(x) =11=1,
então y=1 é assíntota horizontal.

Resposta

Para f(x)=3+5x-x^2: sem assíntotas verticais e sem assíntotas horizontais.
Para g(x)=3x^2x-2: assíntota vertical em x=2; sem assíntota horizontal.
Para h(x)=x^2x^2+3: sem assíntotas verticais; assíntota horizontal em y=1.

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