Questão 4. Usando as técnicas de limite e/ou os resultados vistos em aula, em cada caso a seguir, estude a convergência das sequências.
an=1, se n é ímpar e 3 n3 n-6, se n é par

Passo 1

O enunciado define a sequência é ímpar},\ \dfrac{3n}{3n-6}, & se é par. \end{cases}]
O conteúdo é estudo de convergência de sequência usando análise de subsequências e limites.

Passo 2

Vamos olhar a subsequência dos índices ímpares. Se n=2k-1, então
a2k-1=1
é constante. Logo
limktoinftya2k-1=1

Passo 3

Agora a subsequência dos índices pares. Se n=2k, então
a2k=3,(2k)3,(2k)-6 =6k6k-6 =k,k-1,
Como
limktoinftykk-1 =limktoinftyl(1+1k-1r) =1,
segue que limktoinftya2k=1.

Passo 4

Temos duas subsequências, uma constante em 1 e outra que tende a 1. Como ambos os limites coincidem, a sequência original também converge para esse valor.

Resposta

A sequência (an) converge e
limntoinftyan=1

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