Para cada função f(x)=3+5 x-x^2, g(x)=3 x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3,
Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para, dadas as funções
f(x)=3+5x - x^2, g(x)=3x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3,
determinar em que intervalos cada uma é crescente ou decrescente. O conteúdo envolve monotonicidade de funções e usaremos derivadas para obter o sinal de cada uma.

Passo 2

Para f(x)=3+5x - x^2, calculamos a derivada
f'(x)=5 - 2x
Resolvendo f'(x)=0 vem
5 - 2x = 0Rightarrow x=tfrac52
Como f'(x)>0 quando 5-2x>0, isto é, x<tfrac52, e f'(x)<0 quando x>tfrac52, concluímos:
f é crescente em (-infty,tfrac52) e decrescente em (tfrac52,infty).

Passo 3

Para g(x)=3x^2x-2 (domínio xneq2), aplicamos a regra do quociente:
g'(x) =(6x)(x-2)-3x^2cdot1(x-2)^2 =6x^2-12x-3x^2(x-2)^2 =3x(x-4)(x-2)^2
O denominador é sempre positivo (exceto em x=2, fora do domínio), logo o sinal de g'(x) é o de x(x-4). As raízes são x=0 e x=4, e temos:
  • x<0: x(x-4)>0 Rightarrow g'(x)>0.
  • 0<x<4: x(x-4)<0 Rightarrow g'(x)<0.
  • x>4: x(x-4)>0 Rightarrow g'(x)>0.
Levando em conta a descontinuidade em x=2, obtemos:
g é crescente em (-infty,0) e (4,infty), decrescente em (0,2) e (2,4).

Passo 4

Para h(x)=x^2x^2+3 (domínio todos os reais), a derivada é
h'(x) =(2x)(x^2+3)-x^2cdot2x(x^2+3)^2 =2x^3+6x-2x^3(x^2+3)^2 =6x(x^2+3)^2
O denominador é sempre positivo, então o sinal de h'(x) é o de 6x. Logo:
  • x<0: h'(x)<0.
  • x>0: h'(x)>0.
Assim, h é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).

Resposta

f(x) é crescente em (-infty,tfrac52) e decrescente em (tfrac52,infty)
g(x) é crescente em (-infty,0) e (4,infty), decrescente em (0,2) e (2,4)
h(x) é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty)

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