Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.
f(x, y)=x^2+2 x y+3 y^2 ; u=(1,1) ; P=(2,1)

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos encontrar a derivada direcional de f(x,y)=x^2+2xy+3y^2 ao longo do vetor u=(1,1) no ponto P=(2,1). Para isso, precisamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, começamos encontrando o gradiente de f. Lembrando que nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y).
nabla f(x,y)=(2x+2y,;2x+6y)

Passo 3

Depois, precisamos do vetor unitário na direção de u. O vetor unitário é u=u/|u|, onde |u|=raiz1^2+1^2=raiz2. Assim,
u=(1raiz2,1raiz2)

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto P=(2,1). Substituindo x=2 e y=1 em nabla f(x,y), obtemos
nabla f(2,1)=(2cdot2+2cdot1,;2cdot2+6cdot1)=(6,10)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de f na direção de u no ponto P é dada pelo produto escalar nabla f(2,1)cdotu. Calculando:
Duf(2,1)=(6,10)cdot(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)=6+10raiz2=16raiz2=8raiz2

Resposta

8raiz2

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