Use as técnicas apresentadas em aula para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
. O conteúdo aqui é séries telescópicas, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para identificar o telescópio.
Passo 2
Começamos decompondo o termo geral em frações parciais. Queremos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Comparando coeficientes em
e constantes, temos
Daí
e
implica
,
. Logo
Passo 3
Agora montamos a soma parcial até
:
Expandindo alguns termos para ver o telescópio:
Note que quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Para ver se converge, calculemos
:
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge (é uma série telescópica) e seu valor é
.
Resposta
A série converge e seu valor é
.