Use as técnicas apresentadas em aula para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
51.2+52.3+ldots+5(n+1)(n+2)+ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série sumn=1^infty 5(n+1)(n+2). O conteúdo aqui é séries telescópicas, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais para identificar o telescópio.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral em frações parciais. Queremos constantes A e B tais que
5(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2) obtém-se
5 = A(n+2) + B(n+1) = (A+B)n + (2A+B)
Comparando coeficientes em n e constantes, temos
A + B = 0, 2A + B = 5
Daí B = -A e 2A - A = 5 implica A = 5, B = -5. Logo
5(n+1)(n+2) = 5n+1 - 5n+2

Passo 3

Agora montamos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Nl(5n+1 - 5n+2r)
Expandindo alguns termos para ver o telescópio:
SN = l(tfrac52-tfrac53r)+l(tfrac53-tfrac54r)+cdots+l(tfrac5N+1-tfrac5N+2r)
Note que quase tudo cancela, sobrando
SN = 52 - 5N+2

Passo 4

Para ver se converge, calculemos limNtoinftySN:
limNtoinftyl(52 - 5N+2r) = 52 - 0 = 52
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge (é uma série telescópica) e seu valor é 5/2.

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac52.

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