Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.
f(x, y)=e^x sin y ; u=(1,-1) ; P=(0, pi / 4)

Passo 1

O exercício pede pra gente achar a derivada direcional de f ao longo de um vetor em um ponto. O conteúdo aqui é: usar o gradiente de f e projetá-lo sobre o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para começar, vamos calcular o gradiente de f. Lembrando que gradiente é o vetor das derivadas parciais, ou seja, se f(x,y)=e^{x}\sin y então temos
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,partial fpartial y)
Calculando:
partial fpartial x=e^xsin y,
partial fpartial y=e^xcos y

Passo 3

Agora precisamos do vetor unitário na direção de vec u=(1,-1). A norma de vec u é
|vec u|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2
Logo o vetor unitário é
hat u=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)

Passo 4

Em seguida, avaliamos o gradiente em P=(0,π/4). Substituindo em nabla f:
partial fpartial x(0,tfracpi4)=e^0sintfracpi4=tfracraiz22,
partial fpartial y(0,tfracpi4)=e^0costfracpi4=tfracraiz22
Então
nabla f(0,tfracpi4)=l(tfracraiz22,tfracraiz22r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar de nabla f(P) com hat u:
Dhat uf(P)=nabla f(0,tfracpi4)cdothat u=l(tfracraiz22,tfracraiz22r)cdotl(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
Calculando:
tfracraiz22cdottfrac1raiz2+tfracraiz22cdotl(-tfrac1raiz2r)=tfrac12-tfrac12=0

Resposta

0

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