(Função Gamma) A função Gamma é definida por
para
.
(a) Mostre que
é bem-definida, i.e., que a integral acima é convergente para todo
.
(b) Use integração por partes para mostrar que
, para todo
.
© Use indução em
para mostrar que
! para todo inteiro
. Isso mostra que a função
é uma extensão da função fatorial para todos os reais positivos.
(d) Mostre que
, para todos
e
.
(a) Mostre que
(b) Use integração por partes para mostrar que
© Use indução em
(d) Mostre que
Passo 1
A questão trata da função Gamma definida por
para
. Vamos usar teoria de integrais impróprias, integração por partes, indução e transformada de Laplace para mostrar: (a) convergência de
; (b) recorrência
; © que
; (d) que
.
Passo 2
Para (a), verifique convergência em dois trechos. Primeiro em
: como
se comporta como
com
,
converge. Depois em
: como
decai exponencialmente, existe comparação com
, de modo que
. Assim
é convergente.
Passo 3
Para (b), faça integração por partes em
. Tome
, então
, e
, então
. Assim
Passo 4
Para ©, base da indução:
. Suponha
. Então
$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n,(n-1)!=n!,.
$$
Passo 5
Para (d), por definição da transformada de Laplace
Passo 6
Na mudança de variável
,
,
, vem
Resposta
Concluímos que (a)
converge para todo
; (b)
; ©
para todo inteiro
; (d)
para
.