(Função Gamma) A função Gamma é definida por
Gamma(x)=integral0^infty e^-t t^x-1 d t
para x>0.
(a) Mostre que Gamma é bem-definida, i.e., que a integral acima é convergente para todo x>0.
(b) Use integração por partes para mostrar que Gamma(x+1)=x Gamma(x), para todo x>0.
© Use indução em n para mostrar que Gamma(n)=(n-1) ! para todo inteiro n>0. Isso mostra que a função Gamma é uma extensão da função fatorial para todos os reais positivos.
(d) Mostre que s>0, para todos alpha>-1 e .

Passo 1

A questão trata da função Gamma definida por Gamma(x)=integral0^inftye^-tt^x-1dt para x>0. Vamos usar teoria de integrais impróprias, integração por partes, indução e transformada de Laplace para mostrar: (a) convergência de Gamma(x); (b) recorrência Gamma(x+1)=xGamma(x); © que Gamma(n)=(n-1)!; (d) que mathscrL(t^alpha)(s)=Gamma(alpha+1)/s^alpha+1.

Passo 2

Para (a), verifique convergência em dois trechos. Primeiro em [0,1]: como t^x-1 se comporta como t^p com p=x-1>-1, integral0^1t^x-1dt converge. Depois em [1,infty): como e^-t decai exponencialmente, existe comparação com e^-t/2, de modo que integral1^infty e^-tt^x-1dt. Assim Gamma(x) é convergente.

Passo 3

Para (b), faça integração por partes em integral0^infty e^-tt^xdt. Tome u=t^x, então du=x t^x-1dt, e dv=e^-tdt, então v=-e^-t. Assim
Gamma(x+1)=integral0^infty e^-tt^xdt=l[-e^-tt^xr]0^infty+ xintegral0^infty e^-tt^x-1dt=xGamma(x)

Passo 4

Para ©, base da indução: Gamma(1)=integral0^infty e^-tdt=1=0!. Suponha Gamma(n)=(n-1)!. Então
$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n,(n-1)!=n!,.
$$

Passo 5

Para (d), por definição da transformada de Laplace
mathscrL(t^alpha)(s)=integral0^infty e^-stt^alpha dt

Passo 6

Na mudança de variável u=st, t=u/s, dt=du/s, vem
integral0^infty e^-ul(usr)^alphadus=s^-alpha-1integral0^infty e^-uu^alpha du=s^-alpha-1Gamma(alpha+1)

Resposta

Concluímos que (a) Gamma(x) converge para todo x>0; (b) Gamma(x+1)=xGamma(x); © Gamma(n)=(n-1)! para todo inteiro n>0; (d) mathscrL(t^alpha)(s)=Gamma(alpha+1)s^alpha+1 para s>0,,alpha>-1.

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