Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.
f(x, y)=x^3-x^2 y+x y^2+y^3 ; u=(2,3) ; P=(1,-1)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^3 - x^2y + x y^2 + y^3, o vetor vec u=(2,3) e o ponto P=(1,-1). O conteúdo é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e do vetor direção unitário hat u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx=partial fpartial x=3x^2 -2xy + y^2 e
fy=partial fpartial y=-x^2 +2xy +3y^2.
Aqui usamos a definição de gradiente como o vetor das derivadas parciais.

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P=(1,-1):
fx(1,-1)=3(1)^2 -2(1)(-1)+(-1)^2=3+2+1=6,
fy(1,-1)=-1^2 +2(1)(-1)+3(-1)^2=-1-2+3=0. Logo nabla f(P)=(6,0).

Passo 4

Calculamos a norma de vec u:
|vec u|=raiz2^2+3^2=raiz13.
O vetor unitário é
hat u=1raiz13(2,3)=(2/raiz13,3/raiz13).

Passo 5

A derivada direcional de f ao longo de vec u em P é o produto escalar de nabla f(P) com hat u:
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdot hat u=(6,0)cdotl(2/raiz13,3/raiz13r)=12raiz13

Resposta

12raiz13

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