Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.
f(x, y)=cot yx ; u=(3,4) ; P=(2, pi)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=cot(y/x) e queremos a derivada direcional de f no ponto P=(2,π) ao longo do vetor u=(3,4). O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f ao longo do vetor unitário û é dada por D_{u}f=∇f·û. Então primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
Definindo t=y/x, temos f(x,y)=cot(t). Pela regra da cadeia,
fx=ddt[cot t]cdot∂t∂x=-csc^2 tcdotl(-yx^2r)=yx^2csc^2l(yxr),
fy=ddt[cot t]cdot∂t∂y=-csc^2 tcdot1x=-1xcsc^2l(yxr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(2,π). Como y/x=π/2 e \csc^2(π/2)=1,

Passo 4

Em seguida encontramos o vetor unitário û a partir de u=(3,4). O módulo de u é 5, logo
û=l(35,45r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar ∇f(2,π)·û:
Duf(2,π)=l(π4,-12r)cdotl(35,45r)=3π20-25

Resposta

3pi-820

Exercícios relacionados