Para cada função
calcule a derivada direcional de
ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto
.
Passo 1
Temos a função f(x,y)=cot(y/x) e queremos a derivada direcional de f no ponto P=(2,π) ao longo do vetor u=(3,4). O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de f ao longo do vetor unitário û é dada por D_{u}f=∇f·û. Então primeiro calculamos as derivadas parciais de f.
Definindo t=y/x, temos f(x,y)=cot(t). Pela regra da cadeia,
Definindo t=y/x, temos f(x,y)=cot(t). Pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(2,π). Como y/x=π/2 e \csc^2(π/2)=1,
Passo 4
Em seguida encontramos o vetor unitário û a partir de u=(3,4). O módulo de u é 5, logo
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar ∇f(2,π)·û: